Fonctionnement de cette classe inversée

On a décrit plus le haut le principe de l’enseignement inversé. La présente plateforme, avec son polycopié interactif, ses exercices et son système de questions/réponses, prétend offrir une structure sur laquelle organiser un tel enseignement.

On trouvera, en bas de cette page, quelques remarques faites par des étudiant.e.s lors des semestres précédents.

Organisation hebdomadaire

On distinguera la séance de contact, qui est le moment de la semaine où nous nous rencontrerons pour tester la compréhension de la matière assimilée, et la séance d’exercices, pendant laquelle vous appliquerez la matière dans la résolution d’exercices concrets.

Généralement (à l’EPFL en tout cas), l’organisation hebdomadaire d’une classe inversée contient deux séances de contact et une séance d’exercices.

Ici, nous offrirons une seule séance de contact et deux séances d’exercices:

Lundi, 8h-10h: Séance de contact, servant à tester la compréhension de la matière de la semaine précédente.
Lundi, 10h-12h: première séance d’exercices
Mercredi, 10h-12h: deuxième séance d’exercices

Précisons que la quantité d’exercices reste la même que pour une classe normale: il y a juste plus de temps à disposition au contact de l’enseignant et des assistant.es.

Remarque 3.

Il y a deux raisons au passage de “2 séances contact + 1 séance exercices” (2023) à “1 séance contact + 2 séances exercices” (2024).

La première est que j’ai donné en 2023 une version online du cours d’Analyse 1, qui a très bien marché (au vu des résultats des étudiant.es), et pour laquelle j’ai utilisé le système “1 séance contact + 2 séances exercices”.
Dans leur évaluation de cours en 2023, des étudiant.es des classes inversées d’Analyse 1 et d’Algèbre linéaire ont trouvé qu’une des séances de contact était de trop et pourrait être transformée en une séance d’exercices.

Parallélisme avec MATH-101(c)

Cette classe inversée suivra de très près ma classe “classique” d’Analyse 1 de la section de Génie Mécanique, à savoir MATH-101(c). En particulier:

La matière présentée, les exercices, le chronogramme et l’examen seront exactement les mêmes que ceux de MATH-101(c).
Tous les cours hebdomadaires (ex cathedra) donnés en MATH-101(c) sont streamés et enregistrés. Tous les liens nécessaires sont disponibles sur la page des streams et enregistrements. Les enregistrements des cours des années précédentes sont aussi disponibles dans la barre de navigation.

Signalons que depuis 2015, l’examen d’Analyse 1 (tout comme celui d’Algèbre linéaire) contient une partie commune à toutes les sections, pour la plupart sous forme de questions à choix multiples, de questions vrai/faux, et de une ou plusieurs questions ouvertes.

Donc

80%

de l’examen de MATH-101(pi) et MATH-101(c) sera commun avec toutes les autres sections.

Matériel didactique

Voir ici.

Exercices et solutions

Tous les exercices et leurs solutions seront accessibles sur cette plateforme (voir “Séries” dans la barre de navigation de gauche). Certains exercices contiennent des indications qui permettent d’avancer même sans l’aide d’assistant.es.

Voir aussi les remarques à propos des quiz et des exercices. Vous saurez dans quelles salles vous rendre en cliquant ici.

Poser des questions

“A good course is a course with many stupid questions. ”

Wendelin Werner, Rio de Janeiro, 2008.

Le plus important, pour assimiler une matière nouvelle, c’est de... discuter et poser beaucoup de questions. Les séances de contact et d’exercices sont faites pour ça: poser toutes vos questions.

Ensuite, on pourra poser des questions sur le serveur, toujours de façon anonyme:

Sur la matière, directement dans les paragraphes du polycopié en ligne.
Sur les exercices, directement sur la page web de l’exercice. Remarquons que chaque exercice, sur le serveur, contient les questions déjà posées par les étudiant.e.s de MATH-101(c) et MATH-101(ol) en 2023/2024 accompagnées mes réponses et de celles des assistant.e.s. Le système est donc fait pour qu’on profite au maximum des questions posées par les autres.
Pour les questions d’ordre général/organisationnelles, on pourra aller sur Forum questions $>$ Questions générales PI.

Concernant les questions posées sur le serveur: chaque réponse donnée à une question sera accompagnée d’un email envoyé à la personne qui a posé la question.

Timeline

Pour pouvoir couvrir toute la matière sur 14 semaines, le cours avance à un rythme relativement soutenu. Toutes les sections étudiées seront données dans le contenu de chaque semaine, et se trouvera résumé en cliquant sur le lien Timeline du menu de gauche (sous Informations générales).

Pour se faire une idée du rythme auquel la matière est présentée au fil du semestre, on pourra jeter un oeil à l’agenda des années précédentes (la timeline est prise du cours d’Analyse 1 pour les étudiant.e.s de GM, mais la matière hebdomadaire est la même pour toutes mes classes):

Remarques d’anciens étudiants

Les quelques remarques ci-dessous sont tirées de l’évaluation approfondie qui a eu lieu les années précédentes. (Toutes les réponses sont anonymes.)

“Atmosphère d’apprentissage excellente. ”

(2025)

“Il fait trop froid, s’il vous plaît diminuez la climatisation.”

(2025)

“Polycopier très organisé! les quizzes à la fin de chaque section aide beaucoup à la compréhension du sujet. 4heures d’exercices par semaine c’est parfait! ”

(2025)

“Ce cours en classe inversée nécessite certes plus de temps qu’en format classique, mais c’est une très bonne opportunité de comprendre les choses par soi-même et de progresser à son rythme. Les 4 heures de séances d’exercices par semaines permettent de poser toutes nos questions aux assistants, qui sont d’ailleurs très bons et intéressants. De plus, la séance de contact fournit encore plus d’exercices et donc de matière pour s’entraîner, ce qui est très bien pour un cours de BA1. La plateforme botafogo est un outil très utile, elle est très bien organisée, très clair et détaillée, et les ressources et aides en cas de questions sont disponibles partout en tout temps avec les forums à disposition. Ce cours devrait continuer ainsi! ”

(2025)

“Cours très sympa. Entre le cours et les exercices, ce sont les exercices qui me prennent le plus de temps. C’est pour cela que je trouve super le fait d’avoir 4h pendant la semaine réservée aux exercices de série. De plus, il n’y a pas énormément de monde dans la salle polyvalente pendant les séances de contact ce qui nous épargne d’un environnement de travail bruyant. ”

(2024)

“Cours vraiment intéressant et bien construit. Je prends beaucoup de plaisir chaque semaine à assister au cours d’analyse inversée. J’apprécie beaucoup le fait d’avoir 4h de séance d’exos au lieur de 2h. Les assistants sont également très compétent et répondent bien aux questions ”

(2024)

“Le cours est très bien construit, les supports sont nombreux ce qui permet au plus grand nombre de trouver une manière de travailler la matière à sa façon. Le fait qu’il est y ait 4 heures d’exercices dans la semaine est vraiment très intéressant, cela permet de poser toutes les questions que l’on veut et permet ainsi une meilleure compréhension du cours. De plus, je trouve personellement que la retransmission vidéo des cours donnés au GM est très utile. ”

(2024)

“J’aime beaucoup le fait qu’on ait 2 séances d’exercices et 1 séances de contact. Cela nous donne plus de temps pour faire les exos en présence des assistants. De plus, le format des exercices avec les indications aident beaucoup dans les résolutions quand on est chez soi. ”

(2024)

“Je trouve que les séances contact sont très bien organisées et riches en informations. De plus, avec toutes les ressources disponibles, chacun peut avoir accès aux ressources qui lui conviennent pour assurer au mieux sa formation. C’est parfait. ”

(2024)

“La classe en inversée me correspond totalement sachant que j’ai déjà fais un premier BA1. Je trouve le cours en ligne extrêmement clair et j’aime beaucoup les petites vidéos qui accompagnent le texte ainsi que les petites animations. Personnellement je n’utilise pas le cours redifusé des GM mais je pense que certains l’apprécie. J’ai le ressenti qu’il y a un bon nombre d’assistants dans la salle donc ça c’est cool, on se sent entouré. Rien à dire en terme d’amélioration je trouve que tout est top ! ”

(2024)

“La plateforme donne vraiment une plus value à l’apprentissage de la matière. Les animation interactives donnent une meilleurs visualisation d’un concept. Cependant il faut faire attention au trop d’information et bien choisir entre le polycopiés les vidéos et les sources externes. La plateforme donne un cours interactif et qualitatif. ”

(2024)

“Le site est tout simplement parfait. Malgré la difficulté de la matière; grâces aux ressources du site, au forum, à l’aide des assistants etc..., l’analyse me semble accessible et à ma portée. ”

(2024)

“Les moyens d’enseignement sont efficaces et variés (surtout les quiz tirés d’anciens examens, qui sont difficiles et préparent bien). L’enseignant explique efficacement mais semble parfois manquer un peu d’enthousiasme. ”

(2024)

“Super plateforme de travail ! ”

(2024)

“Compliqué dans les aspects de gestion du temps ”

(2024)

“Je trouve le format du cours top, surtout les petites vidéos et quizzs! Je trouve juste dommage qu’on n’est pas le droit à une petite feuille d’annotation pour l’examen. Seulement pour mettre quelques définitions et théorèmes et pouvoir un peu plus se concentrer sur la résolution des exercices sans avoir peur d’avoir oublié la théorie. Surtout qu’il y a beaucoup de matière étaler sur plusieurs thèmes différents. ”

(2024)

“Juste si c’est possible d’ajouter le pdf écris pendant le cours ”

(2024)

“Le professeur est à l’écoute et réponds à toutes les questions (même les plus stupides), et ce sans juger... Cependant des fois la charge de travail est lourde, mais ça prépare bien. ”

(2024)

“Je trouve que étant en analyse inversé le cours est vraiment optimal à l’apprentissage, ce que je trouve le mieux c’est qu’on a 4h d’exercices avec les assistants contrairement à ceux en analyse normal en GM qui n’ont que 2h d’exercices. Honnêtement j’arrive tout juste à finir la série en 4h alors je me demande bien comment font ceux qui n’ont que 2h.

La seule chose qui m’interroge c’est la mise au point d’une IA pour répondre à nos questions sur le site, à la place des réponses du prof. Personnellement si j’avais envie qu’une IA me réponde je demanderai à chat GPT. Ce que j’aime quand je pose des questions sur le site c’est d’avoir une réponse « humaine » parce-que il y a vraiment une différence entre les deux. Donc peut être pourrions nous avoir l’option de choisir si on veut juste une réponse IA ou une réponse de la part du prof/assistant? ”

(2024)

“Les ressources disponibles pour le cours sont très bonnes ; je suis satisfait d’avoir pris la classe inversée. Peut-être un peu trop d’exercices supplémentaires le lundi. Le temps de travail n’est pas du tout correspondant aux crédits en revanche. J’ai autant travaillé dans cette matière que dans toutes les autres réunies (alors que physique mécanique semble plus difficile). ”

(2024)

Petit sondage réalisé l’année dernière, une première fois un peu après le début du semestre, une deuxième fois près de la fin du semestre:

Dans cette section, on considère des fonctions

f : A \to B

que l’on appellera réelles, ce qui signifie que

A

B

sont des sous-ensembles de

R

. L’étude des fonctions de ce type constitue un des objectifs de ce cours, surtout via la notion de limite qui sera introduite bien plus tard. Ici nous ne ferons qu’illustrer les notions de la section précédente dans ce cas particulier.

II.3.1 Graphe et ensemble image

Lorsque

A

B

sont des sous-ensembles de

R

, on peut représenter géométriquement toute l’information contenue dans une fonction

f : A \to B

dans son graphe, qui est défini comme l’ensemble des points

(x, f (x))

du plan cartésien, obtenus en laissant

x

parcourir tout l’ensemble

A

graphe (f) = {(x, y) \in R^{2} : x \in A, y = f (x) \in B} .

Sur l’animation ci-dessus, on peut “voir”

Im (f)

en activant “trace”, et en faisant varier

x \in A

, pour voir apparaître les points de

Im (f)

sur l’axe

y

.
Dans la pratique, on détermine l’ensemble image de

f : A \to B

par le calcul: en cherchant les

y \in B

pour lesquels l’équation

f (x) = y (II.1)

possède au moins une solution

x \in A

. Dans les cas simples, cela revient à pouvoir isoler

x

dans cette dernière expression.

Exemple II.13.

Soit

f : [2, 3] x \to R \mapsto f (x) := \frac{3 x - 4}{2} .

Par définition,

Im (f) = {y \in R : \exists x \in [2, 3] tel que f (x) = y}

Pour calculer

Im (f)

, fixons

y \in R

, et essayons de résoudre l’équation

y = f (x)

, c’est-à-dire

y = \frac{3 x - 4}{2} .

En isolant simplement

x

, on trouve la préimage de

y

x = \frac{2 y + 4}{3} .

Comme il faut que la préimage appartienne à

A = [2, 3]

, on veut que

2 ⩽ \frac{2 y + 4}{3} ⩽ 3,

qui est équivalente, après quelques manipulations, à

1 ⩽ y ⩽ \frac{5}{2} .

On résume: l’équation

y = f (x)

possède une solution

x \in [2, 3]

si et seulement

y \in [1, \frac{5}{2}]

. Ceci signifie que

Im (f) = [1, \frac{5}{2}]

. On peut le vérifier graphiquement:

II.3.2 Injections, surjections, bijections

Dans le cas des fonctions réelles, l’injectivité et la surjectivité peuvent se caractériser en termes du graphe de

f

, comme suit. Une fonction réelle

f : A \to B

est

surjective si toute droite horizontale d’équation $y = b$ , avec $b \in B$ , coupe le graphe de $f$ en au moins un point,
injective si toute droite horizontale d’équation $y = b$ , avec $b \in B$ , coupe le graphe de $f$ en au plus un point .

II.3.3 Graphe de la fonction réciproque

Si une fonction réelle

f

est bijective, comment le graphe de

f^{- 1}

est-il relié à celui de

f

?
Plus précisément, considérons une fonction

f : A x \to B \mapsto f (x) .

On rappelle que le graphe de

f

est l’ensemble des paires

(x, y)

, où

y = f (x)

x \in A

. Si

f

est bijective, le graphe de sa réciproque

f^{- 1} : B y \to A \mapsto f^{- 1} (y)

est l’ensemble des paires

(y, x)

, où

x = f^{- 1} (y)

y \in B

. On a donc qu’un point

(x, y)

appartient au graphe de

f

si et seulement si le point

(y, x)

appartient au graphe de

f^{- 1}

. Or dans le plan, l’opération qui transforme

(x, y)

(y, x)

est une réflexion par rapport à la diagonale du premier quadrant. On en conclut que si le graphe de

f

est connu, alors le graphe de

f^{- 1}

s’obtient en réfléchissant celui de $f$ à travers la diagonale du premier quadrant. Voyons quelques exemples.

Exemple II.14.

Considérons

f : R x \to R \mapsto \frac{x}{2} + 1 .

Soient

x, x^{'} \in R

tels que

f (x) = f (x^{'})

. Ceci signifie que

\frac{x}{2} + 1 = \frac{x ^{'}}{2} + 1,

qui après simplification donne

x = x^{'}

. Donc

f

est injective. Ensuite, montrons que tout

y \in R

possède une préimage

x

. En effet, on peut isoler

x

dans

y = f (x) = \frac{x}{2} + 1

, qui donne

x = 2 (y - 1)

. Donc

f

est aussi surjective.
Ainsi,

f

est bijective, et sa réciproque est donnée par

f^{- 1} : R y \to R \mapsto 2 (y - 1) .

Remarquons que l’on peut nommer la variable comme on veut, et on peut donc écrire

f^{- 1} : R x \to R \mapsto f^{- 1} (x) = 2 (x - 1) .

Le graphe de

f^{- 1} (x) = 2 (x - 1)

s’obtient à partir de celui de

f (x) = \frac{x}{2} + 1

, par une réflexion par rapport à la diagonale:

Exemple II.15.

Considérons la fonction “au carré”:

f : R x \to R \mapsto x^{2} .

Puisque

f (- x) = f (x)

pour tout

x

f

n’est pas injective. On peut la rendre injective en restreignant son ensemble de départ, en prenant par exemple

R^{+}

f : R_{+} x \to R \mapsto x^{2} .

Cette fonction est maintenant injective puisque

f (x) = f (x^{'})

est équivalent à

x^{2} - x^{'}^{2} = 0

, c’est-à-dire

(x - x^{'}) (x + x^{'}) = 0

. En se souvenant que

x, x^{'} \in R_{+}

, on voit que cette identité est vérifiée si et seulement si

x = x^{'}

.
On montrera plus tard (voir ici) que

Im (f) = R_{+}

(plus précisément, nous montrerons que pour tout

y \in R_{+}

, il existe un

x \in R_{+}

tel que

x^{2} = y

). Ainsi,

f : R_{+} x \to R_{+} \mapsto x^{2},

est bijective. Sa réciproque est appelée la fonction racine carrée, et s’écrit en général “

\cdot

”:

f^{- 1} : R_{+} y \to R_{+} \mapsto f^{- 1} (y) = y .

Son graphe s’obtient en réfléchissant celui de

f (x) = x^{2}

à travers la diagonale du premier quadrant:

Quiz II.3.1.Vrai ou faux? Si

f : R \to R

est injective, alors

Analyse I / FLIPPED

Fonctionnement de cette classe inversée

Organisation hebdomadaire

Parallélisme avec MATH-101(c)

Matériel didactique

Exercices et solutions

Poser des questions

Timeline

Remarques d’anciens étudiants

II.3 Cas des fonctions réelles

II.3.1 Graphe et ensemble image

II.3.2 Injections, surjections, bijections

II.3.3 Graphe de la fonction réciproque