Analyse I / FLIPPED
Botafogo Fonctionnement de cette classe inversée
On a décrit plus le haut le principe de l’enseignement inversé. La présente plateforme, avec son polycopié interactif, ses exercices et son système de questions/réponses, prétend offrir une structure sur laquelle organiser un tel enseignement.
On trouvera, en bas de cette page, quelques remarques faites par des étudiant.e.s lors des semestres précédents.
Organisation hebdomadaire
On distinguera la séance de contact, qui est le moment de la semaine où nous nous rencontrerons pour tester la compréhension de la matière assimilée, et la séance d’exercices, pendant laquelle vous appliquerez la matière dans la résolution d’exercices concrets.
Généralement (à l’EPFL en tout cas), l’organisation hebdomadaire d’une classe inversée contient deux séances de contact et une séance d’exercices.
Ici, nous offrirons une seule séance de contact et deux séances d’exercices:
- Lundi, 8h-10h: Séance de contact, servant à tester la compréhension de la matière de la semaine précédente.
- Lundi, 10h-12h: première séance d’exercices
- Mercredi, 10h-12h: deuxième séance d’exercices
Précisons que la quantité d’exercices reste la même que pour une classe normale: il y a juste plus de temps à disposition au contact de l’enseignant et des assistant.es.
Remarque 3.
Il y a deux raisons au passage de “2 séances contact + 1 séance exercices” (2023) à “1 séance contact + 2 séances exercices” (2024).
- La première est que j’ai donné en 2023 une version online du cours d’Analyse 1, qui a très bien marché (au vu des résultats des étudiant.es), et pour laquelle j’ai utilisé le système “1 séance contact + 2 séances exercices”.
- Dans leur évaluation de cours en 2023, des étudiant.es des classes inversées d’Analyse 1 et d’Algèbre linéaire ont trouvé qu’une des séances de contact était de trop et pourrait être transformée en une séance d’exercices.
Parallélisme avec MATH-101(c)
Cette classe inversée suivra de très près ma classe “classique” d’Analyse 1 de la section de Génie Mécanique, à savoir MATH-101(c). En particulier:
- La matière présentée, les exercices, le chronogramme et l’examen seront exactement les mêmes que ceux de MATH-101(c).
- Tous les cours hebdomadaires (ex cathedra) donnés en MATH-101(c) sont streamés et enregistrés. Tous les liens nécessaires sont disponibles sur la page des streams et enregistrements. Les enregistrements des cours des années précédentes sont aussi disponibles dans la barre de navigation.
Signalons que depuis 2015, l’examen d’Analyse 1 (tout comme celui d’Algèbre linéaire) contient une partie commune à toutes les sections, pour la plupart sous forme de questions à choix multiples, de questions vrai/faux, et de une ou plusieurs questions ouvertes.
Donc de l’examen de MATH-101(pi) et MATH-101(c) sera commun avec toutes les autres sections.
Matériel didactique
Voir ici.
Exercices et solutions
Tous les exercices et leurs solutions seront accessibles sur cette plateforme (voir “Séries” dans la barre de navigation de gauche). Certains exercices contiennent des indications qui permettent d’avancer même sans l’aide d’assistant.es.
Voir aussi les remarques à propos des quiz et des exercices. Vous saurez dans quelles salles vous rendre en cliquant ici.
Poser des questions
“A good course is a course with many stupid questions. ”
Wendelin Werner, Rio de Janeiro, 2008.
Le plus important, pour assimiler une matière nouvelle, c’est de... discuter et poser beaucoup de questions. Les séances de contact et d’exercices sont faites pour ça: poser toutes vos questions.
Ensuite, on pourra poser des questions sur le serveur, toujours de façon anonyme:
- Sur la matière, directement dans les paragraphes du polycopié en ligne.
- Sur les exercices, directement sur la page web de l’exercice. Remarquons que chaque exercice, sur le serveur, contient les questions déjà posées par les étudiant.e.s de MATH-101(c) et MATH-101(ol) en 2023/2024 accompagnées mes réponses et de celles des assistant.e.s. Le système est donc fait pour qu’on profite au maximum des questions posées par les autres.
- Pour les questions d’ordre général/organisationnelles, on pourra aller sur Forum questions Questions générales PI.
Concernant les questions posées sur le serveur: chaque réponse donnée à une question sera accompagnée d’un email envoyé à la personne qui a posé la question.
Timeline
Pour pouvoir couvrir toute la matière sur 14 semaines, le cours avance à un rythme relativement soutenu. Toutes les sections étudiées seront données dans le contenu de chaque semaine, et se trouvera résumé en cliquant sur le lien Timeline du menu de gauche (sous Informations générales).
Pour se faire une idée du rythme auquel la matière est présentée au fil du semestre, on pourra jeter un oeil à l’agenda des années précédentes (la timeline est prise du cours d’Analyse 1 pour les étudiant.e.s de GM, mais la matière hebdomadaire est la même pour toutes mes classes):
Remarques d’anciens étudiants
Les quelques remarques ci-dessous sont tirées de l’évaluation approfondie qui a eu lieu les années précédentes. (Toutes les réponses sont anonymes.)
“Atmosphère d’apprentissage excellente. ”
(2025)
“Il fait trop froid, s’il vous plaît diminuez la climatisation.”
(2025)
“Polycopier très organisé! les quizzes à la fin de chaque section aide beaucoup à la compréhension du sujet. 4heures d’exercices par semaine c’est parfait! ”
(2025)
“Ce cours en classe inversée nécessite certes plus de temps qu’en format classique, mais c’est une très bonne opportunité de comprendre les choses par soi-même et de progresser à son rythme. Les 4 heures de séances d’exercices par semaines permettent de poser toutes nos questions aux assistants, qui sont d’ailleurs très bons et intéressants. De plus, la séance de contact fournit encore plus d’exercices et donc de matière pour s’entraîner, ce qui est très bien pour un cours de BA1. La plateforme botafogo est un outil très utile, elle est très bien organisée, très clair et détaillée, et les ressources et aides en cas de questions sont disponibles partout en tout temps avec les forums à disposition. Ce cours devrait continuer ainsi! ”
(2025)
“Cours très sympa. Entre le cours et les exercices, ce sont les exercices qui me prennent le plus de temps. C’est pour cela que je trouve super le fait d’avoir 4h pendant la semaine réservée aux exercices de série. De plus, il n’y a pas énormément de monde dans la salle polyvalente pendant les séances de contact ce qui nous épargne d’un environnement de travail bruyant. ”
(2024)
“Cours vraiment intéressant et bien construit. Je prends beaucoup de plaisir chaque semaine à assister au cours d’analyse inversée. J’apprécie beaucoup le fait d’avoir 4h de séance d’exos au lieur de 2h. Les assistants sont également très compétent et répondent bien aux questions ”
(2024)
“Le cours est très bien construit, les supports sont nombreux ce qui permet au plus grand nombre de trouver une manière de travailler la matière à sa façon. Le fait qu’il est y ait 4 heures d’exercices dans la semaine est vraiment très intéressant, cela permet de poser toutes les questions que l’on veut et permet ainsi une meilleure compréhension du cours. De plus, je trouve personellement que la retransmission vidéo des cours donnés au GM est très utile. ”
(2024)
“J’aime beaucoup le fait qu’on ait 2 séances d’exercices et 1 séances de contact. Cela nous donne plus de temps pour faire les exos en présence des assistants. De plus, le format des exercices avec les indications aident beaucoup dans les résolutions quand on est chez soi. ”
(2024)
“Je trouve que les séances contact sont très bien organisées et riches en informations. De plus, avec toutes les ressources disponibles, chacun peut avoir accès aux ressources qui lui conviennent pour assurer au mieux sa formation. C’est parfait. ”
(2024)
“La classe en inversée me correspond totalement sachant que j’ai déjà fais un premier BA1. Je trouve le cours en ligne extrêmement clair et j’aime beaucoup les petites vidéos qui accompagnent le texte ainsi que les petites animations. Personnellement je n’utilise pas le cours redifusé des GM mais je pense que certains l’apprécie. J’ai le ressenti qu’il y a un bon nombre d’assistants dans la salle donc ça c’est cool, on se sent entouré. Rien à dire en terme d’amélioration je trouve que tout est top ! ”
(2024)
“La plateforme donne vraiment une plus value à l’apprentissage de la matière. Les animation interactives donnent une meilleurs visualisation d’un concept. Cependant il faut faire attention au trop d’information et bien choisir entre le polycopiés les vidéos et les sources externes. La plateforme donne un cours interactif et qualitatif. ”
(2024)
“Le site est tout simplement parfait. Malgré la difficulté de la matière; grâces aux ressources du site, au forum, à l’aide des assistants etc..., l’analyse me semble accessible et à ma portée. ”
(2024)
“Les moyens d’enseignement sont efficaces et variés (surtout les quiz tirés d’anciens examens, qui sont difficiles et préparent bien). L’enseignant explique efficacement mais semble parfois manquer un peu d’enthousiasme. ”
(2024)
“Super plateforme de travail ! ”
(2024)
“Compliqué dans les aspects de gestion du temps ”
(2024)
“Je trouve le format du cours top, surtout les petites vidéos et quizzs! Je trouve juste dommage qu’on n’est pas le droit à une petite feuille d’annotation pour l’examen. Seulement pour mettre quelques définitions et théorèmes et pouvoir un peu plus se concentrer sur la résolution des exercices sans avoir peur d’avoir oublié la théorie. Surtout qu’il y a beaucoup de matière étaler sur plusieurs thèmes différents. ”
(2024)
“Je trouve que les séances contact sont très bien organisées et riches en informations. De plus, avec toutes les ressources disponibles, chacun peut avoir accès aux ressources qui lui conviennent pour assurer au mieux sa formation. C’est parfait. ”
(2024)
“Juste si c’est possible d’ajouter le pdf écris pendant le cours ”
(2024)
“Le professeur est à l’écoute et réponds à toutes les questions (même les plus stupides), et ce sans juger... Cependant des fois la charge de travail est lourde, mais ça prépare bien. ”
(2024)
“Je trouve que étant en analyse inversé le cours est vraiment optimal à l’apprentissage, ce que je trouve le mieux c’est qu’on a 4h d’exercices avec les assistants contrairement à ceux en analyse normal en GM qui n’ont que 2h d’exercices. Honnêtement j’arrive tout juste à finir la série en 4h alors je me demande bien comment font ceux qui n’ont que 2h.
La seule chose qui m’interroge c’est la mise au point d’une IA pour répondre à nos questions sur le site, à la place des réponses du prof. Personnellement si j’avais envie qu’une IA me réponde je demanderai à chat GPT. Ce que j’aime quand je pose des questions sur le site c’est d’avoir une réponse « humaine » parce-que il y a vraiment une différence entre les deux. Donc peut être pourrions nous avoir l’option de choisir si on veut juste une réponse IA ou une réponse de la part du prof/assistant? ”
(2024)
“Les ressources disponibles pour le cours sont très bonnes ; je suis satisfait d’avoir pris la classe inversée. Peut-être un peu trop d’exercices supplémentaires le lundi. Le temps de travail n’est pas du tout correspondant aux crédits en revanche. J’ai autant travaillé dans cette matière que dans toutes les autres réunies (alors que physique mécanique semble plus difficile). ”
(2024)
Petit sondage réalisé l’année dernière, une première fois un peu après le début du semestre, une deuxième fois près de la fin du semestre:
Projet Botafogo © 2026. En savoir plus. Contenu sous licence CC BY-NC-SA 4.0
9.1 Définition de la dérivée, exemples
Une question géométrique naturelle, et très utile pour l’étude d’une fonction, est de savoir comment calculer l’équation de la droite tangente au graphe d’une fonction, en un point :
Pour connaître l’équation de cette droite, de la forme on commence par chercher sa pente . Et quand on cherche la pente d’une droite, on a besoin de deux points sur cette droite et ici, on n’en a qu’un, à savoir le point .
L’idée est de passer par un processus de limite. En effet, introduisons un deuxième point sur le graphe, , où est un point différent de , et considérons la sécante passant par les points et . La pente de cette sécante est donnée par Lorsque est proche de , cette pente approxime celle de la droite que l’on cherche, . Dans la limite (tester sur l’animation ci-dessus), elle devrait même tendre exactement vers : L’existence de la limite ci-dessus n’est pas garantie en générale.
L’idée est de passer par un processus de limite. En effet, introduisons un deuxième point sur le graphe, , où est un point différent de , et considérons la sécante passant par les points et . La pente de cette sécante est donnée par Lorsque est proche de , cette pente approxime celle de la droite que l’on cherche, . Dans la limite (tester sur l’animation ci-dessus), elle devrait même tendre exactement vers : L’existence de la limite ci-dessus n’est pas garantie en générale.
Définition 9.1.
Soit définie en et dans son voisinage. On dit que est dérivable en si le nombre défini par la limite existe (et est fini). On appelle la dérivée (ou nombre dérivé) de au point .
Remarque 9.1.
Dans la limite qui définit , ci-dessus, la variable est utilisée uniquement pour calculer la limite; on dit qu’elle est muette. On peut donc écrire de différentes manières: où, dans la dernière égalité, on a fait le changement de variable .
Exemple 9.1.
Soit . Calculons sa dérivée au point : Donc la tangente à la parabole au point d’abscisse a une pente de (voir l’animation ci-dessous). Son équation est donc de la forme , et comme elle doit passer par le point , on trouve . Donc la tangente au point a pour équation .
Exemple 9.2.
Soit . Au point ,
9.1.1 Origines possibles de la non-dérivabilité en un point
Voyons quelques exemples de fonctions qui ne sont pas dérivables.
Exemple 9.3.
Considérons Au point , le rapport donnant la pente de la droite de la sécante est qui comme on le sait ne possède pas de limite lorsque . Donc n’est pas dérivable en :
Exemple 9.4.
Considérons . Au point , la dérivée s’obtient en prenant la limite du rapport Or ce signe n’a pas de limite quand , donc n’est pas dérivable en . Cela fait sens du point de vue géométrique, puisqu’en ce point son graphe ne possède pas de droite tangente naturellement définie: 
Exemple 9.5.
Considérons . Au point , la dérivée s’obtient en prenant la limite du rapport Or cette limite est , donc n’est pas dérivable en . Cela fait sens du point de vue géométrique, puisqu’en ce point son graphe possède une droite tangente, mais verticale (de pente infinie): 
9.1.2 Taux d’accroissement et la notation de Leibniz
De par sa signification géométrique, la dérivée est toujours une limite d’un quotient de deux quantités qui tendent vers zéro. (C’est pour ça que les indéterminations “” sont si importantes!)
Interprétons cette limite en introduisant des nouvelles notations:
- représente l’incrément de la fonction.
- représente l’incrément de la variable.
D’un point de vue quantitatif, ces deux incréments sont petits lorsque est proche de ; dit exactement de combien varie lorsque s’écarte de d’une distance :
Ensuite, l’existence de la dérivée, signifie que quand l’incrément est petit, alors est essentiellement proportionnel à , la constante de proportionnalité étant : On conclut que la dérivée représente letaux d’accroissement localde en : si on varie la variable de à , alors la valeur de la fonction passe de à , où est essentiellement proportionnel à , comme dans la relation ci-dessus.
Informel 9.1.Si on admet pendant un instant qu’il est possible de considérer des incréments infiniment petits, de la fonction et de la variable, que l’on notera respectivement et , alors la dérivabilité de en signifie que ces deux infiniment petits sont proportionnels, la constante de proportionalité étant précisément la dérivée en : La notation suivante, appelée notation de Leibniz, est donc naturelle:
9.1.3 Dérivabilité implique continuité
On l’a dit, pour que soit dérivable en , il faut que sa droite tangente soit bien définie; elle doit être assez lisse en . En particulier, son graphe ne peut pas faire de saut en :
Lemme 9.1.
Si est dérivable en alors elle est continue en .
Remarque 9.2.
Attention, la réciproque de l’affirmation du lemme n’est pas vraie. C’est-à-dire que “continuité” n’implique pas “dérivabilité”. Par exemple, on a vu que n’est pas dérivable en , pourtant elle est bien continue en ce point.
On a vu plus haut des fonctions (, ) qui étaient continues partout mais pas dérivables en un point. On pourrait, en adaptant ces exemples, construire des fonctions qui sont continues partout mais pas dérivables en un nombre arbitraire fini de points. Il est naturel de se poser la question de savoir s’il existe des fonctions qui sont continues partout mais dérivables nulle part. De telles fonctions existent...
Exemple 9.6.
Considérons Puisque cette fonction est bien définie pour tout ; elle est paire. Avec un peu plus de travail, on peut montrer qu’elle est aussi continue sur . Et avec encore un peu plus de travail, on peut montrer qu’elle n’est dérivable en aucun point de .
Quiz 9.1.1.Soit dérivable en , dont la dérivée est notée . Alors
Quiz 9.1.2.Soient dérivables en . et soit définie par Alors est dérivable en , et .
Quiz 9.1.3.Soit définie sur un intervalle ouvert contenant , dérivable en . Vrai ou faux?
Projet Botafogo © 2026. En savoir plus. Contenu sous licence CC BY-NC-SA 4.0