Analyse I / FLIPPED
Botafogo Infos sur les séances exercices
Rappelons que nous aurons deux séances d’exercices par semaine.
Les lundis, de 10h15 à 12h, en CE 1 6 (immédiatement après la séance contact).
Les mercredis, de 10h15 à 12h, vous serez répartis en deux salles différentes, en fonction de votre nom de famille (tel que trouvé sur ISA):
- De Abdurhaman à Menhem: vous irez en CE 1 1515 (“Salle Polyvalente”)
- De Merkli à Zundel: vous irez en CE 1 106.
Assistant.e.s:
Eliott van Dieren (Phd, Math)
Doctorant en mathématiques dans le domaine de l’optimisation, j’ai auparavant suivi une formation d’ingénieur en mathématiques et informatique à l’UCLouvain, puis un master en mathématiques appliquées à l’EPFL. J’ai eu l’occasion d’enseigner dans plusieurs cours de mathématiques, notamment Mathématiques pour les géosciences, Stochastic Simulation et Analyse II. Pour ce cours, je serai l’assistant principal et serai présent lors des séries d’exercices pour vous accompagner dans votre apprentissage de l’Analyse I. Au plaisir de vous rencontrer au cours du semestre !
Ángel Zhang Huang (Math, Master)
Salut! Je suis étudiant en Master de Mathématiques Appliquées, avec un mineur en Data Science. Mon principal intérêt c’est l’analyse de données topologique (appliquée à la biologie), ainsi que le dessin. En plus du français, je parle aussi l’anglais et l’espagnol. N’hésitez donc pas à me parler dans ces langues si vous le préférez!
Arthur Busseret (GC, Master)
Salut, je suis Arthur, étudiant en master de GC à l’EPFL et ayant réalisé mon Bachelor en France en classe préparatoire puis à l’Ecole Polytechnique. Ma passion des mathématiques remonte à il y a longtemps, et j’ai hâte de la partager avec vous ce semestre. A très vite autour d’une série d’exercices d’Analyse, d’une séance de sport ou d’une petite bière à Sat.
Julia Enders (SIE, EPFL)
Hello ! Je suis étudiante en deuxième année de bachelor en sciences et ingénierie de l’environnement à l’EPFL. Ayant moi-même suivi le cours d’analyse du professeur Friedli l’année dernière, je me réjouis de pouvoir vous aider ce semestre à réaliser vos séries. Je parle également anglais et allemand. En dehors des cours, j’aime le pumpfoil et le tricot.
Chloé Dupuis (MA, EPFL)
Bonjour, je suis en troisième année de bachelor en mathématiques à l’EPFL. Après une première expérience en tant qu’assistante en Algèbre linéaire, je serai cette année votre assistante en Analyse. Je me réjouis de vous accompagner dans votre apprentissage et de partager avec vous mon intérêt pour les mathématiques.
Hugo Passera (Math, Master)
Salut ! Je suis Hugo, étudiant en Master de Mathématiques. J’ai été assistant pour Analyse 0 et Analyse 1 avancée, et je me forme aussi à l’enseignement via la HEP. J’aime particulièrement aider à rendre les notions plus claires et accessibles, et je me réjouis de vous accompagner pendant le semestre!
Sasha Costa (MA, Master)
Salut ! Je suis actuellement en master de statistique, avec un mineur en ingénierie financière. J’ai également été assistant l’année passée auprès du professeur Friedli pour le cours d’Analyse I. Je me réjouis de travailler avec vous ce semestre !
Marwa Chiguer (DS, Master)
Salut ! Je suis Marwa, j’ai fait mon CMS et mon bachelor en Systèmes de communication à l’EPFL. Je suis actuellement en Master Data Science, mineur en ingénierie financière. Les cours de mathématiques à l’EPFL m’intéressent particulièrement, en particulier leur aspect théorique et rigoureux. Je parle aussi anglais, arabe et espagnol. Hâte de vous aider ce semestre !
Rami Ben Amor
Salut ! Je suis étudiant en Master de Génie Mécanique à l’EPFL. Au cours de mon Bachelor, j’ai pu faire pas mal d’autres assistanats (méca, matériaux, thermo et structures). J’ai également réalisé une année d’échange au Georgia Institute of Technology à Atlanta et je parle aussi anglais et arabe. Aujourd’hui, durant mon Master, j’ai poursuivi la spécialisation en mécanique des solides et structures et je m’engage également pour la Racing Team de l’EPFL. En dehors du campus, j’adore voyager, jouer au volleyball, faire des randonnées et aller à des concerts.
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1.6 Supremum et infimum
Ici, nous introduirons la propriété cruciale qui différencie les réels des rationnels. En particulier, nous verrons comment cette propriété permet de garantir que dans , l’équation possède bel et bien une solution.
Avant de commencer, il nous faut introduire un peu de terminologie.
1.6.1 Minimum, maximum
L’ordre introduit plus haut sur permet de distinguer certains éléments d’un sous-ensemble de .
Définition 1.2.
Soit un sous-ensemble non-vide de .
- Un élément est dit maximal si . On dit aussi que est le maximum de , et on note: .
- Un élément est dit minimal si . On dit aussi que est le minimum de , et on note: .
Exemple 1.4.
On réalise que quand un ensemble contient un nombre fini d’éléments, alors il possède toujours un minimum et un maximum. En d’autres termes, une liste finie de nombres contient toujours un plus grand et un plus petit élément. Par contre, lorsque l’ensemble possède un nombre infini d’éléments, l’existence d’un minimum ou maximum n’est plus garantie.
Exemple 1.5.
Vu comme sous-ensemble des réels, l’ensemble des entiers possède un élément minimal, , mais il ne possède pas d’élément maximal.
Exemple 1.6.
Considérons l’ensemble (la couleur, c’est juste pour voir l’ensemble sur le dessin du dessous) de tous les nombres de la forme , où est un entier: Clairement, possède un élément maximal: . En effet, pour tout , et de plus : 
Par contre, ne possède pas de minimum. En effet, aucun élément de n’est plus petit que les autres.
Exemple 1.7.
Soit . D’abord, possède un minimum, donné par . (En effet, pour tout , et .) Par contre, n’a pas de maximum. En effet, pour tout , il existe toujours un autre élément tel que . On peut par exemple prendre , qui est le point milieu entre et :
Donc aucun élément de n’est maximal.
Exemple 1.8.
Considérons le sous-ensemble de : Par définition, est composé de tous les rationnels , tels que . On a donc, par exemple, , , , etc.
n’a pas de minimum puisque pour tout entier , et n’a pas de maximum non plus puisque pour tout , on a aussi
n’a pas de minimum puisque pour tout entier , et n’a pas de maximum non plus puisque pour tout , on a aussi
1.6.2 Majorants, minorants
Définition 1.3.
Soit .
- est majoré si il existe tel que pour tout ; on dit qu’un tel majore , ou que c’est un majorant pour .
- est minoré si il existe tel que pour tout ; on dit qu’un tel minore , ou que c’est un minorant pour .
- Si est à la fois majoré et minoré, il est borné.
Exemple 1.9.
est majoré; , sont des majorants. En fait, n’importe quel majore .
Par contre, n’est pas un majorant; en effet, si on prend par exemple le point , alors , et . est aussi minoré: n’importe quel réel minore .
Par contre, n’est pas un majorant; en effet, si on prend par exemple le point , alors , et . est aussi minoré: n’importe quel réel minore .
Informel 1.2.Un ensemble est borné si et seulement si il peut être “rangé dans une boîte”, c’est-à-dire placé à l’intérieur d’un intervalle , où et sont des nombres finis.
Exemple 1.10.
Vus comme sous-ensembles de ,
- est minoré puisque pour tout . Par contre n’est pas majoré. En effet, pour tout , il existe un tel que . Nous utiliserons ceci constamment par la suite.
- n’est ni minoré, ni majoré.
1.6.3 Supremum, infimum
Passons maintenant à la notion essentielle de ce chapitre sur les réels:
Définition 1.4.
Soit un ensemble non-vide.
Un réel est appelé borne supérieure (ou supremum) de si
Un réel est appelé borne inférieure (ou infimum) de si
Un réel est appelé borne supérieure (ou supremum) de si
- majore (c.-à-d. que pour tout ),
- est le plus petit majorant de (c.-à-d. que pour tout , il existe tel que ).
Un réel est appelé borne inférieure (ou infimum) de si
- minore (c.-à-d. que pour tout ),
- est le plus grand minorant de (c.-à-d. que pour tout , il existe tel que ).
Remarque 1.3.
Il est clair que
- Si possède un élément maximal, alors .
- Si possède un élément minimal, alors .
On reformulera souvent la deuxième condition, dans le supremum par exemple, en disant que pour tout il existe un tel que
Informel 1.3.(Interprétation “physique” de l’infimum et du supremum pour un ensemble borné.) On a dit qu’un ensemble borné peut toujours être “rangé dans une boîte” . Et bien parmi toutes les boîtes qui contienne , la plus petite est celle pour laquelle et .
Exemple 1.11.
Reprenons l’ensemble de tout à l’heure: Puisque et que tout est plus petit ou égal à , est l’élément maximal de , et .
Vérifions maintenant que . D’abord, minore puisque tout nombre de la forme est plus grand ou égal à . Pour montrer que est le plus grand minorant, considérons un nombre quelconque , et montrons que n’est pas un minorant pour . En effet, si , alors il existe un entier tel que , ce qui est équivalent à . Or comme , ceci montre que minore pas .
On a donc bien montré que est le plus grand minorant: .
Vérifions maintenant que . D’abord, minore puisque tout nombre de la forme est plus grand ou égal à . Pour montrer que est le plus grand minorant, considérons un nombre quelconque , et montrons que n’est pas un minorant pour . En effet, si , alors il existe un entier tel que , ce qui est équivalent à . Or comme , ceci montre que minore pas .
On a donc bien montré que est le plus grand minorant: .
Exemple 1.12.
Soit encore . On a vu que n’a pas de maximum; montrons maintenant que .
- Premièrement, on a pour tout , donc est majoré par .
- Deuxièmement, si , alors il existe tel que . En effet, si , n’importe quel suffit. Sinon, si , on peut par exemple prendre .
- pour tout , et
- pour tout , il existe un tel que
1.6.4 La différence entre et
Passons à l’axiome qui confère à une propriété qui permet de l’utiliser pour faire de l’analyse: Dans ,
- tout ensemble non-vide majoré possède un supremum,
- tout ensemble non-vide minoré possède un infimum.
Pour des ensembles qui ne sont pas bornés, la convention suivante est parfois adoptée (ce n’est qu’une notation):
- Si n’est pas majoré, .
- Si n’est pas minoré, .
Exemple 1.13.
Calculons l’infimum/supremum de l’ensemble Remarquons pour commencer que Comme on veut , on doit se restreindre à , ce qui donne On a donc , et comme cet ensemble n’est pas majoré, .
Quiz 1.6.1.Soit un ensemble non vide. Si ne majore pas , cela signifie
Quiz 1.6.2.Soit un ensemble non-vide majoré. Si , cela signifie que
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