Infos sur les séances exercices

Rappelons que nous aurons deux séances d’exercices par semaine.

Les lundis, de 10h15 à 12h, en CE 1 6 (immédiatement après la séance contact).

Les mercredis, de 10h15 à 12h, vous serez répartis en deux salles différentes, en fonction de votre nom de famille (tel que trouvé sur ISA):

De Abdurhaman à Menhem: vous irez en CE 1 1515 (“Salle Polyvalente”)
De Merkli à Zundel: vous irez en CE 1 106.

Assistant.e.s:

Eliott van Dieren (Phd, Math)

Doctorant en mathématiques dans le domaine de l’optimisation, j’ai auparavant suivi une formation d’ingénieur en mathématiques et informatique à l’UCLouvain, puis un master en mathématiques appliquées à l’EPFL. J’ai eu l’occasion d’enseigner dans plusieurs cours de mathématiques, notamment Mathématiques pour les géosciences, Stochastic Simulation et Analyse II. Pour ce cours, je serai l’assistant principal et serai présent lors des séries d’exercices pour vous accompagner dans votre apprentissage de l’Analyse I. Au plaisir de vous rencontrer au cours du semestre !

Ángel Zhang Huang (Math, Master)

Salut! Je suis étudiant en Master de Mathématiques Appliquées, avec un mineur en Data Science. Mon principal intérêt c’est l’analyse de données topologique (appliquée à la biologie), ainsi que le dessin. En plus du français, je parle aussi l’anglais et l’espagnol. N’hésitez donc pas à me parler dans ces langues si vous le préférez!

Arthur Busseret (GC, Master)

Salut, je suis Arthur, étudiant en master de GC à l’EPFL et ayant réalisé mon Bachelor en France en classe préparatoire puis à l’Ecole Polytechnique. Ma passion des mathématiques remonte à il y a longtemps, et j’ai hâte de la partager avec vous ce semestre. A très vite autour d’une série d’exercices d’Analyse, d’une séance de sport ou d’une petite bière à Sat.

Julia Enders (SIE, EPFL)

Hello ! Je suis étudiante en deuxième année de bachelor en sciences et ingénierie de l’environnement à l’EPFL. Ayant moi-même suivi le cours d’analyse du professeur Friedli l’année dernière, je me réjouis de pouvoir vous aider ce semestre à réaliser vos séries. Je parle également anglais et allemand. En dehors des cours, j’aime le pumpfoil et le tricot.

Chloé Dupuis (MA, EPFL)

Bonjour, je suis en troisième année de bachelor en mathématiques à l’EPFL. Après une première expérience en tant qu’assistante en Algèbre linéaire, je serai cette année votre assistante en Analyse. Je me réjouis de vous accompagner dans votre apprentissage et de partager avec vous mon intérêt pour les mathématiques.

Hugo Passera (Math, Master)

Salut ! Je suis Hugo, étudiant en Master de Mathématiques. J’ai été assistant pour Analyse 0 et Analyse 1 avancée, et je me forme aussi à l’enseignement via la HEP. J’aime particulièrement aider à rendre les notions plus claires et accessibles, et je me réjouis de vous accompagner pendant le semestre!

Sasha Costa (MA, Master)

Salut ! Je suis actuellement en master de statistique, avec un mineur en ingénierie financière. J’ai également été assistant l’année passée auprès du professeur Friedli pour le cours d’Analyse I. Je me réjouis de travailler avec vous ce semestre !

Marwa Chiguer (DS, Master)

Salut ! Je suis Marwa, j’ai fait mon CMS et mon bachelor en Systèmes de communication à l’EPFL. Je suis actuellement en Master Data Science, mineur en ingénierie financière. Les cours de mathématiques à l’EPFL m’intéressent particulièrement, en particulier leur aspect théorique et rigoureux. Je parle aussi anglais, arabe et espagnol. Hâte de vous aider ce semestre !

Rami Ben Amor

Salut ! Je suis étudiant en Master de Génie Mécanique à l’EPFL. Au cours de mon Bachelor, j’ai pu faire pas mal d’autres assistanats (méca, matériaux, thermo et structures). J’ai également réalisé une année d’échange au Georgia Institute of Technology à Atlanta et je parle aussi anglais et arabe. Aujourd’hui, durant mon Master, j’ai poursuivi la spécialisation en mécanique des solides et structures et je m’engage également pour la Racing Team de l’EPFL. En dehors du campus, j’adore voyager, jouer au volleyball, faire des randonnées et aller à des concerts.

Revenons à la question posée précédemment: si l’équation

x^{2} = 2

ne possède pas de solution dans

Q

, en possède-t-elle une dans

R

Montrer qu’il existe effectivement un

x \in R

tel que

x^{2} = 2

, “directement” est trop difficile. On fait donc un petit détour, en commençant par définir l’ensemble

A := {x \in R_{+} : x^{2} < 2} .

Remarquons que par exemple

0 \in A

, ou encore

1 \in A

, et donc

A

n’est pas vide.

Lemme 1.3.

A

n’a pas d’élément maximal.

Proof

Il s’agit de montrer que pour tout élément

x \in A

, il existe toujours un

x^{'} \in A

qui est strictement plus grand que

x

.
Cherchons un

x^{'}

de la forme

x^{'} = x + \frac{1}{n}

, avec

n \in N^{*}

. Dans ce cas,

x^{' 2} = (x + \frac{1}{n})^{2} = x^{2} + \frac{2 x}{n} + \frac{1}{n ^{2}} .

Puisque

n ⩾ 1

, on peut majorer:

\frac{1}{n ^{2}} ⩽ \frac{1}{n}

. Ainsi,

x^{' 2} ⩽ x^{2} + \frac{2 x}{n} + \frac{1}{n} = x^{2} + \frac{2 x + 1}{n} .

Puisqu’on veut

x^{'} \in A

, c’est-à-dire

x^{' 2} < 2

, imposons

x^{2} + \frac{2 x + 1}{n} < 2,

qui est équivalente à

n > \frac{2 x + 1}{2 - x ^{2}} .

Le membre de droite est bien défini et positif puisque

2 - x^{2} > 0

. Et un

n

satisfaisant à cette propriété existe toujours puisque, quelle que soit la valeur de

\frac{2 x + 1}{2 - x ^{2}}

, il existe toujours un

n

plus grand que ce nombre (ceci découle du fait que

N

n’est pas majoré). Si on prend un tel

n

, on a donc

x^{'} = x + \frac{1}{n} > x

, et

x^{' 2} = (x + \frac{1}{n})^{2} = x^{2} + \frac{2 x}{n} + \frac{1}{n ^{2}} < x^{2} + \frac{2 x}{n} + \frac{1}{n} = x^{2} + \frac{2 x + 1}{n} < x^{2} + \frac{2 x + 1}{\frac{2 x + 1}{2 - x ^{2}}} = 2 .

Ceci montre que

A

n’a pas d’élément maximal.

□

Ensuite, remarquons que

A

est majoré:

x ⩽ 3

pour tout

x \in A

. En effet, si

x > 3

, alors

x^{2} > 9 > 2

, et donc

x \neq \in A

.
On peut maintenant considérer le réel défini comme le supremum de

A

s := sup A .

Théorème 1.1.

Le nombre

s

défini ci-dessus satisfait

s^{2} = 2

Proof

Si on avait

s \in A

, cela impliquerait que

s

est un élément maximal pour

A

. Comme on vient de voir que

A

ne possède pas d’élément maximal, on en déduit que

s \neq \in A

, et donc que

s^{2} ⩾ 2 .

Nous allons maintenant montrer que

s^{2} ⩽ 2 .

Pour ce faire, commençons par définir le réel

M := \frac{2 + s ^{2}}{2 s}

et montrons que

M

majore

A

. En effet, observons que si

x > M

, alors

x^{2} = (s + (x - s))^{2} = s^{2} + 2 s (x - s) + ⩾ 0 (x - s)^{2} ⩾ s^{2} + 2 s (x - s) > s^{2} + 2 s (M - s) = s^{2} + 2 s (\frac{2 + s ^{2}}{2 s} - s) = 2,

et donc

x \neq \in A

. Ceci implique que si

x \in A

, alors

x ⩽ M

; donc

M

majore

A

. Mais, comme

s

est par définition le plus petit majorant de

A

, on a que

s ⩽ M

, c’est-à-dire

s ⩽ \frac{2 + s ^{2}}{2 s},

qui est équivalente à

s^{2} ⩽ 2

.
Comme

s^{2}

est à la fois

⩾ 2

⩽ 2

, ceci implique

s^{2} = 2

□

Le nombre

s

est appelé racine carrée de deux, et est noté

s = 2 .

Puisque

2 \in R

mais

2 \neq \in Q

comme on a vu,

2

est par définition irrationnel.

1.7.1 La fonction “racine”

On peut, en utilisant la même idée que celle présentée dans la preuve de la section précédente, montrer que pour tout

y \in R_{+}

, l’équation

x^{2} = y

possède une solution dans

R_{+}

Cette analyse montre que la fonction

f : R_{+} x \to R_{+} \mapsto x^{2}

et une surjection. On montre ici que c’est également une injection, et donc que cette fonction est une bijection.
Si

y ⩾ 0

, l’unique

x ⩾ 0

tel que

x^{2} = y

se note

x = y

, et se nomme racine carrée de $y$ . Toute la fonction réciproque s’appelle la fonction racine carrée:

f^{- 1} : R_{+} x \to R_{+} \mapsto x

Comme on sait, son graphe s’obtient en réfléchissant celui de

f (x) = x^{2}

à travers la diagonale du premier quadrant:

Remarque 1.4.

La méthode se généralise, et permet de montrer que pour tout

n \in N^{*}

, et pour tout

y \in R_{+}

, l’équation

x^{n} = y

possède une unique solution dans

R_{+}

. Celle-ci se note

n y

et se nomme racine $n$ -ème de $y$ .

L’utilisation de la notion de supremum/infimum, pour construire la racine carrée ci-dessus, n’est évidemment qu’un exemple de ce que l’on peut faire dans les réels. Comme on verra dans la suite, l’utilisation de ces notions sera utilisée constamment, et fournira un socle sur lequel toute l’analyse réelle pourra être construite.

Quiz 1.7.1.Pour montrer que dans

R_{+}

, l’équation “

x^{2} = 2

” possède une solution...

Quiz 1.7.2.Vrai ou faux?

Assistant.e.s:

1.7 Solutions de x2=2

1.7.1 La fonction “racine”

1.7 Solutions de $x^{2} = 2$