À propos des exercices et quiz

“Practice, note innate talent, is what makes the difference in exceptional human achievment. ”

Malcolm Gladwell

Sur les exercices

Les exercices jouent un rôle central dans l’apprentissage d’une matière, puisqu’ils représentent le moment où on doit résoudre un problème à l’aide de ce qui a été étudié dans le cours.

Face à un nouvel exercice, la première chose à faire est de comprendre son énoncé. Donc il s’agira de lire l’énoncé, plusieurs fois si nécessaire, pour être sûr que vous comprenez tous les termes qu’il contient, et que vous voyiez ce qu’on vous demande. Si nécessaire, reprenez les définitions du cours.

Les exercices ne sont pas juste des “choses à calculer”: beaucoup sont théoriques et demandent de maîtriser les définitions et les résultats du cours. Donc il ne sert à rien de se lancer dans un calcul si on n’a pas compris la moitié des termes utilisés dans l’énoncé.

Vous avez plusieurs moyens d’avancer dans la résolution des problèmes. Il y a les assistant.es à la séance d’exercices bien sûr, il y a l’aide que vous trouvez en discutant avec vos collègues de travail, mais aussi d’autres outils en ligne, faits pour vous aider à avancer individuellement:

Certains exercices sont accompagnés d’indications (vous ne les voyez que si vous accédez aux exercices en ligne, ces indications ne sont pas sur le pdf), en accédant à l’onglet “Indications”; celles-ci fournissent des indices dont le but est d’arriver à faire un premier pas dans la résolution.
Vous avez la possibilité de poser des questions sur cet exercice, que ce soit avant, pendant, ou après la séance d’exercices, en ouvrant l’onglet “Forum”. Avant de poser une question, vérifiez si elle n’a pas déjà été posée par quelqu’un d’autre! Un autre étudiant, un assistant ou moi-même y aura probablement déjà répondu. Vous pouvez aussi commenter ou “liker” les questions/réponses des autres.
Faites bon usage du forum associé à un exercice: s’y rendre trop tôt pour chercher de l’aide risque de vous faire obtenir des informations que vous auriez peut-être obtenu tout-e seul-e en réfléchissant un peu. Un peu comme aller regarder la solution d’un exercice avant d’avoir essayé tout-e seul-e...

“A good course is a course with many stupid questions. ”

Wendelin Werner,Rio de Janeiro, 2008

Ne pensez pas que vous êtes sensés arriver à faire tous les exercices facilement, en compilant directement ce qui a été dans le cours. Il est normal de ne pas arriver à faire un exercice tout de suite sans fautes: ça fait partie intégrante de l’apprentissage!

Les solutions seront disponibles peu après la séance d’exercices. Alors soyons clairs: lire la solution d’un problème sans avoir essayé de le faire avant, c’est comme si on n’avait RIEN fait. Vous pouvez lire et relire la solution d’un exercice, vous dire que vous l’avez “comprise”, peut-être même la reproduire sans faute; ça ne veut pas du tout dire que vous serez capable de résoudre un autre exercice du même genre.

Il faut savoir que le processus d’apprentissage par lequel on passe, lorsqu’on sèche sur un problème, est utile pour une multitude d’autres choses, en plus de l’exercice lui-même...

Sur les quiz

Des quiz apparaissent à la fin de pratiquement toutes les sections du polycopié.

Le but d’un quiz est de vous permettre de voir si vous avez compris la matière qui vient de vous être présentée, en vous posant simplement une suite de questions du type “Vrai ou Faux”? En général, on peut y répondre sans faire aucun calcul.

Il est essentiel de tous les faire. Relisez le cours, lisez les questions qu’on vous pose, réfléchissez, choisissez vos réponses, puis checkez en appuyant sur “Réponses”. Les quiz vous fournissent un moyen de vous auto-évaluer, ne manquez pas cette occasion!

Dans un quiz, répondre “Vrai” signifie que l’on doit pouvoir donner une petite justification à l’aide de ce qui a été présenté dans le cours. Répondre “Faux” doit pouvoir s’accompagner d’un contre-exemple. Par exemple, pour démontrer que l’affirmation “toute fonction continue est dérivable” est fausse, on peut donner le contre-exemple de la fonction

f (x) = ∣ x ∣

, qui est continue partout mais pas dérivable en

x_{0} = 0

Parfois, trouver un contre-exemple peut être plus difficile. L’affirmation “Toute fonction continue est dérivable en au moins un point” est aussi fausse, mais exhiber un contre-exemple requiert un certain travail...

On se représente souvent l’ensemble des nombres réels, noté

R

, comme tous les points d’une droite:

Même si cette image est utile pour l’intuition (en particulier pour se représenter des distances ou comparer des grandeurs), elle ne constitue évidemment pas une définition rigoureuse. En particulier, elle n’exprime pas le fait que les réels se prêtent bien au calcul, à savoir à la manipulation abstraite de quantités, qu’elles soient positives ou négatives, petites ou grandes.
De plus, les concepts fondamentaux de l’analyse (limite, continuité, dérivabilité, intégrabilité) se définissent précisément à l’aide de quelques notions simples qui utilisent toute la structure des réels.
Donc avant de commencer à présenter l’analyse à proprement parler, on se doit de définir quelles sont exactement les propriétés qui caractérisent

R

. On listera en particulier les règles de calcul qui donneront aux réels la structure de ce qu’on appelle un corps.

1.1.1 Nombres et mesures

La construction des nombres commence, en général, avec l’introduction des nombres naturels/entiers, avec lesquels on peut déjà compter (“un mouton, deux moutons, trois moutons, ...”):

N := {0, 1, 2, 3, 4, \dots} .

Puis viennent s’ajouter les entiers relatifs, obtenus à partir de

N

en rajoutant toutes les quantités entières négatives (“il fait froid:

- 15

degrés!”, ou “

3 - 7 = - 4

”):

Z := {\dots, - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, \dots} .

L’étape suivante est de considérer en plus toutes les proportions possibles entre deux grandeurs entières (“un demi litre de lait”, “une heure et quart”, “deux tiers des étudiants”,...), pour obtenir les nombres rationnels:

Q = {\frac{p}{q} p, q \in Z, q \neq = 0} .

Les rationnels contiennent

Z

(prendre

q = 1

), donc ils contiennent des nombres arbitrairement grands, et peuvent être utilisés pour décrire des grandeurs astronomiques. Mais ils contiennent aussi des quotients aussi petits que l’on veut (

\frac{1}{10} = 0.1

\frac{1}{100} = 0.01

, etc.), et peuvent donc être utilisés pour décrire des grandeurs atomiques ou subatomiques.

Pourquoi, alors, ne pas se contenter de garder

Q

pour faire de l’analyse?
Même s’il permet a priori de mesurer des grandeurs à toutes les échelles possibles nécessaires de l’univers,

Q

souffre d’un défaut majeur: il ne permet pas de tout mesurer! En effet, beaucoup de grandeurs physiques sont des quantités irrationnelles.
Voyons deux exemples.

1.1.2 Irrationnalité de $2$

L’école Pythagoricienne (env. 500BC) avait observé le fait suivant. Considérons un triangle rectangle dont les deux cathètes ont longueur

1

La longueur de l’hypothénuse est donnée par la solution

x > 0

de l’équation

x^{2} = 1^{2} + 1^{2} = 2 .

Lemme 1.1.

Le nombre

x

, solution de l’équation

x^{2} = 2

, est irrationnel.

Proof

On démontre l’affirmation par l’absurde.
Supposons que

x \in Q

, à savoir qu’il existe des entiers

p

q

tels

x

peut s’écrire

x = \frac{p}{q}

. On peut en fait supposer que

p

q

sont premiers entre eux, c’est-à-dire qu’ils n’ont aucun diviseur commun (s’ils ont un diviseur commun, on peut toujours simplifier la fraction).
Mais si

x = \frac{p}{q}

, alors

x^{2} = (\frac{p}{q})^{2} = 2

, c’est-à-dire

p^{2} = 2 q^{2}

, ce qui implique que

p^{2}

est pair (un multiple de

2

), et donc que

p

est pair aussi (exercice!). On peut alors écrire

p

sous la forme

p = 2 e

, où

e

est un entier. Ceci implique également que

q^{2} = \frac{p ^{2}}{2} = 2 e^{2}

, et donc

q

, par le même argument qu’avant, est aussi pair. Ceci implique que

p

q

sont tous deux divisibles par

2

, ce qui représente une contradiction, puisqu’on a supposé que

p

q

n’avaient aucun diviseur commun.

□

Étant irrationnel, l’expansion décimale

2

n’a pas de “fin”, et ne présente aucun motif particulier (pas de périodicité, etc.):

2 = 1.414213562373095048801688724209 \dots

De nos jours, on connaît plus de dix mille milliards de décimales de cette expansion.
“On sait que les nombres de ce genre (en parlant de

2

) ont tourmenté Pythagore et son école presque jusqu’à puisement. Étant accoutumés à des nombres si étranges depuis notre première enfance, nous devons prendre garde à ne pas sous-estimer l’intuition mathématique de ces anciens sages. Leur tourment était hautement honorable. Ils se rendaient compte qu’on ne peut trouver aucune fraction dont le carré soit exactement égal à

2

. On peut en donner des approximations très approchées, comme par exemple

\frac{17}{12}

, dont le carré,

\frac{289}{144}

, est très proche de

\frac{288}{144}

, c’est à dire de

2

. On peut s’approcher encore plus près de

2

en considérant des fractions constituées au moyen de nombres plus grands que

17

12

, mais on n’atteindra jamais exactement

2

. ”

E. Schrödinger, Physique quantique et représentation du monde

1.1.3 Irrationnalité de $π$

Le nombre

π

est défini comme la longueur de la circonférence d’un disque dont le diamètre est égal à

1

Il est surprenant d’apprendre que le développement décimal de ce nombre ne présente pas de régularité apparente:

π = 3.1415926535897932384626433 \dots

On peut facilement trouver des rationnels qui approximent

π

à un niveau essentiellement arbitraire de précision (les décimales en rouge indiquent à partir d’où le rationnel cesse de donner une bonne approximation):

\frac{22}{7} \frac{333}{106} \frac{103993}{33102} = 3.14 285714286... = 3.1415 0943396... = 3.141592653 01... etc.

Pourtant, Johann Heinrich Lambert a montré en 1761 que

π

est irrationnel: il n’existe aucune paire $p, q \in N^{*}$ telle que

π = \frac{p}{q} .

Pour une preuve relativement courte, mais qui requiert beaucoup des notions d’analyse présentées dans ce cours, voir cette vidéo, ou encore celle-ci (les deux présentent la même preuve de l’irrationnalité de

π

, due à Niven).

1.1.4 Sur la construction de $R$

La circonférence du disque et l’hypothénuse du triangle ci-dessus sont loin d’être les seuls irrationnels, donc cette discussion montre que même si

Q

constitue un ensemble de nombres allant des échelles subatomiques à superastronomiques, il ne contient pas tous les nombres nécessaires pour faire de la géométrie élémentaire: les irrationnels sont nécessaires. (Et en fait, dans un sens que nous ne détaillerons pas ici, il y a beaucoup plus d’irrationnels qu’il n’y a de rationnels...)

Il y a donc, dans la construction d’un bon ensemble de nombres permettant de faire de l’analyse, une étape finale, qui consiste à compléter

Q

en lui ajoutant tous les irrationnels pour obtenir

R

. Cette construction est délicate, et nous ne la décrirons pas en détails car elle sortirait du cadre de ce cours.
Mais ce que nous ferons, dans les sections suivantes, sera de définir

R

en listant ses propriétés.
Nous dirons d’abord que c’est, comme

Q

, un ensemble dans lequel on peut faire de l’arithmétique, c’est à dire des calculs à l’aide d’opérations telles que addition et multiplication.
Puis nous exigerons de

R

une propriété additionnelle, naturelle mais délicate à formuler (voir supremum et infimum plus loin), qui le distinguera radicalement de

Q

, et qui nous permettra de commencer à construire l’analyse. (En passant, nous montrerons que dans

R

, l’existence de

2

est bien garantie.)

Ce que nous ne ferons pas, c’est de montrer qu’on peut effectivement construire un ensemble

R

jouissant de toutes ces propriétés. Pour plus de détails sur la construction des réels, je renvoie le lecteur aux livres d’analyse plus avancés. Par exemple: Les nombres irrationnels (Voyage au pays des maths ARTE). Plus élémentaire:

Sur les exercices

Sur les quiz

1.1 Introduction

1.1.1 Nombres et mesures

1.1.2 Irrationnalité de 2​

1.1.3 Irrationnalité de π

1.1.4 Sur la construction de R

1.1.2 Irrationnalité de $2$

1.1.3 Irrationnalité de $π$

1.1.4 Sur la construction de $R$