Séance 02 (Lundi 14 sept.)

Communications

Semaine prochaine (Semaine 03): lundi 21 septembre 2026 est férié, donc pas de séance contact ni d’exercices! Comme d’habitude, les sujets traités la troisième semaine se trouveront dans le lien Contenu correspondant. Et la séance d’exercices de mercredi (23 septembre) a lieu normalement.
Sur l’utilisation des forums: poser les questions au bon endroit, choisir anonymat, formulation de la question, utilisation des anciennes questions, etc.
À propos du $x^{2} = 2$ .

Aujourd’hui:

Exercice. (1) Calculer l’ensemble image de la fonction

f : R x \to R \mapsto 4 x - x^{2} + 3 .

Exercice. (2) Donner un exemple explicite de fonction

f : [0, 1] \to [0, 1]

qui soit

à la fois injective et surjective
à la fois injective, surjective et décroissante
à la fois injective, surjective, ni croissante ni décroissante
injective mais pas surjective
surjective mais pas injective
ni injective ni surjective

Exercice. (3) Comment choisir

B \subset R

pour que

f : R^{*} \to B

, définie par

f (x) = x + \frac{1}{x} x \neq = 0,

soit surjective?

Exercice. (4)Montrer par récurrence que pour tout

n ⩾ 1

k = 1 \sum n \frac{2 ^{k} ( k - 1 )}{( k + 1 )!} = 2 - \frac{2 ^{n + 1}}{( n + 1 )!}

Rappelons que

k! = \prod_{j = 1}^{k} j

Exercice. (5) Vrai ou faux? Si

∣ x ∣ ⩽ ε

pour tout

ε > 0

, alors

x = 0

Exercice. (6) Considérer l’ensemble

A = {x \in R : 3 x + 1 > 0}

Montrer que pour tout

x \in A

, il existe

n \in N^{*}

tel que

x - \frac{1}{n} \in A

. En conclure que

A

n’a pas de minimum.

Exercice. (7) Soit

A =] - 1, 0 [\cup] 1, 2 [

. Calculer

sup A

(en justifiant).

Extras

Exercice. (8) Soit

f : [0, 2] \to [0, 2]

définie par

f (x) = {x + 1 2 - x si 0 ⩽ x ⩽ 1, si 1 < x ⩽ 2 .

Tracer le graphe de $f$ , puis expliquer graphiquement pourquoi cette fonction est bijective.
Calculer la réciproque $f^{- 1}$ , et esquisser son graphe.

Quiz 0.2.(2018) Soit

A = {x \in R_{+}^{*} : cos (\frac{1}{x}) > 0}

. Alors

Revenons à la question posée précédemment: si l’équation

x^{2} = 2

ne possède pas de solution dans

Q

, en possède-t-elle une dans

R

Montrer qu’il existe effectivement un

x \in R

tel que

x^{2} = 2

, “directement” est trop difficile. On fait donc un petit détour, en commençant par définir l’ensemble

A := {x \in R_{+} : x^{2} < 2} .

Remarquons que par exemple

0 \in A

, ou encore

1 \in A

, et donc

A

n’est pas vide.

Lemme 1.3.

A

n’a pas d’élément maximal.

Proof

Il s’agit de montrer que pour tout élément

x \in A

, il existe toujours un

x^{'} \in A

qui est strictement plus grand que

x

.
Cherchons un

x^{'}

de la forme

x^{'} = x + \frac{1}{n}

, avec

n \in N^{*}

. Dans ce cas,

x^{' 2} = (x + \frac{1}{n})^{2} = x^{2} + \frac{2 x}{n} + \frac{1}{n ^{2}} .

Puisque

n ⩾ 1

, on peut majorer:

\frac{1}{n ^{2}} ⩽ \frac{1}{n}

. Ainsi,

x^{' 2} ⩽ x^{2} + \frac{2 x}{n} + \frac{1}{n} = x^{2} + \frac{2 x + 1}{n} .

Puisqu’on veut

x^{'} \in A

, c’est-à-dire

x^{' 2} < 2

, imposons

x^{2} + \frac{2 x + 1}{n} < 2,

qui est équivalente à

n > \frac{2 x + 1}{2 - x ^{2}} .

Le membre de droite est bien défini et positif puisque

2 - x^{2} > 0

. Et un

n

satisfaisant à cette propriété existe toujours puisque, quelle que soit la valeur de

\frac{2 x + 1}{2 - x ^{2}}

, il existe toujours un

n

plus grand que ce nombre (ceci découle du fait que

N

n’est pas majoré). Si on prend un tel

n

, on a donc

x^{'} = x + \frac{1}{n} > x

, et

x^{' 2} = (x + \frac{1}{n})^{2} = x^{2} + \frac{2 x}{n} + \frac{1}{n ^{2}} < x^{2} + \frac{2 x}{n} + \frac{1}{n} = x^{2} + \frac{2 x + 1}{n} < x^{2} + \frac{2 x + 1}{\frac{2 x + 1}{2 - x ^{2}}} = 2 .

Ceci montre que

A

n’a pas d’élément maximal.

□

Ensuite, remarquons que

A

est majoré:

x ⩽ 3

pour tout

x \in A

. En effet, si

x > 3

, alors

x^{2} > 9 > 2

, et donc

x \neq \in A

.
On peut maintenant considérer le réel défini comme le supremum de

A

s := sup A .

Théorème 1.1.

Le nombre

s

défini ci-dessus satisfait

s^{2} = 2

Proof

Si on avait

s \in A

, cela impliquerait que

s

est un élément maximal pour

A

. Comme on vient de voir que

A

ne possède pas d’élément maximal, on en déduit que

s \neq \in A

, et donc que

s^{2} ⩾ 2 .

Nous allons maintenant montrer que

s^{2} ⩽ 2 .

Pour ce faire, commençons par définir le réel

M := \frac{2 + s ^{2}}{2 s}

et montrons que

M

majore

A

. En effet, observons que si

x > M

, alors

x^{2} = (s + (x - s))^{2} = s^{2} + 2 s (x - s) + ⩾ 0 (x - s)^{2} ⩾ s^{2} + 2 s (x - s) > s^{2} + 2 s (M - s) = s^{2} + 2 s (\frac{2 + s ^{2}}{2 s} - s) = 2,

et donc

x \neq \in A

. Ceci implique que si

x \in A

, alors

x ⩽ M

; donc

M

majore

A

. Mais, comme

s

est par définition le plus petit majorant de

A

, on a que

s ⩽ M

, c’est-à-dire

s ⩽ \frac{2 + s ^{2}}{2 s},

qui est équivalente à

s^{2} ⩽ 2

.
Comme

s^{2}

est à la fois

⩾ 2

⩽ 2

, ceci implique

s^{2} = 2

□

Le nombre

s

est appelé racine carrée de deux, et est noté

s = 2 .

Puisque

2 \in R

mais

2 \neq \in Q

comme on a vu,

2

est par définition irrationnel.

1.7.1 La fonction “racine”

On peut, en utilisant la même idée que celle présentée dans la preuve de la section précédente, montrer que pour tout

y \in R_{+}

, l’équation

x^{2} = y

possède une solution dans

R_{+}

Cette analyse montre que la fonction

f : R_{+} x \to R_{+} \mapsto x^{2}

et une surjection. On montre ici que c’est également une injection, et donc que cette fonction est une bijection.
Si

y ⩾ 0

, l’unique

x ⩾ 0

tel que

x^{2} = y

se note

x = y

, et se nomme racine carrée de $y$ . Toute la fonction réciproque s’appelle la fonction racine carrée:

f^{- 1} : R_{+} x \to R_{+} \mapsto x

Comme on sait, son graphe s’obtient en réfléchissant celui de

f (x) = x^{2}

à travers la diagonale du premier quadrant:

Remarque 1.4.

La méthode se généralise, et permet de montrer que pour tout

n \in N^{*}

, et pour tout

y \in R_{+}

, l’équation

x^{n} = y

possède une unique solution dans

R_{+}

. Celle-ci se note

n y

et se nomme racine $n$ -ème de $y$ .

L’utilisation de la notion de supremum/infimum, pour construire la racine carrée ci-dessus, n’est évidemment qu’un exemple de ce que l’on peut faire dans les réels. Comme on verra dans la suite, l’utilisation de ces notions sera utilisée constamment, et fournira un socle sur lequel toute l’analyse réelle pourra être construite.

Quiz 1.7.1.Pour montrer que dans

R_{+}

, l’équation “

x^{2} = 2

” possède une solution...

Quiz 1.7.2.Vrai ou faux?

Communications

Aujourd’hui:

Extras

1.7 Solutions de x2=2

1.7.1 La fonction “racine”

1.7 Solutions de $x^{2} = 2$