Séance 02 (Lundi 14 sept.) — Analyse I / FLIPPED

Semaine prochaine (Semaine 03): lundi 21 septembre 2026 est férié, donc pas de séance contact ni d’exercices! Comme d’habitude, les sujets traités la troisième semaine se trouveront dans le lien Contenu correspondant. Et la séance d’exercices de mercredi (23 septembre) a lieu normalement.
Sur l’utilisation des forums: poser les questions au bon endroit, choisir anonymat, formulation de la question, utilisation des anciennes questions, etc.
À propos du $x^{2} = 2$ .

Exercice. (1) Calculer l’ensemble image de la fonction

f : R x \to R \mapsto 4 x - x^{2} + 3 .

Exercice. (2) Donner un exemple explicite de fonction

f : [0, 1] \to [0, 1]

qui soit

Exercice. (3) Comment choisir

B \subset R

pour que

f : R^{*} \to B

, définie par

f (x) = x + \frac{1}{x} x \neq = 0,

soit surjective?

Exercice. (4)Montrer par récurrence que pour tout

n ⩾ 1

k = 1 \sum n \frac{2 ^{k} ( k - 1 )}{( k + 1 )!} = 2 - \frac{2 ^{n + 1}}{( n + 1 )!}

Rappelons que

k! = \prod_{j = 1}^{k} j

Exercice. (5) Vrai ou faux? Si

∣ x ∣ ⩽ ε

pour tout

ε > 0

, alors

x = 0

Exercice. (6) Considérer l’ensemble

A = {x \in R : 3 x + 1 > 0}

Montrer que pour tout

x \in A

, il existe

n \in N^{*}

tel que

x - \frac{1}{n} \in A

. En conclure que

A

n’a pas de minimum.

Exercice. (7) Soit

A =] - 1, 0 [\cup] 1, 2 [

. Calculer

sup A

(en justifiant).

Exercice. (8) Soit

f : [0, 2] \to [0, 2]

définie par

f (x) = {x + 1 2 - x si 0 ⩽ x ⩽ 1, si 1 < x ⩽ 2 .

Tracer le graphe de $f$ , puis expliquer graphiquement pourquoi cette fonction est bijective.
Calculer la réciproque $f^{- 1}$ , et esquisser son graphe.

Quiz 0.2.(2018) Soit

A = {x \in R_{+}^{*} : cos (\frac{1}{x}) > 0}

. Alors