Analyse I / FLIPPED
Botafogo Séance 01 (Lundi 7 sept.)
Bienvenue à toutes et à tous!
Communications
- Provenance étudiant.e.s dans cette classe inversée (Total: 250):
- Cette séance contact (cliquer) aura lieu tous les lundis de 8h15 à 10h, ici (CE 1 6).
- Les séances d’exercices (cliquer): La première a lieu les lundis de 10h15 à 12h, ici (CE 1 6). La deuxième a lieu les mercredis de 10h15 à 12h, ailleurs.
- À partir de la semaine 04: séances du soir. (infos suivront)
- Le workflow: à la Semaine , on commence par la séance de contact du lundi, pendant laquelle on reparle de la matière de la Semaine , puis vous commencez à travailler sur les exercices de la Série . Tout au long de la Semaine , vous étudiez la matière (sous “Contenu ”), que l’on testera à la séance contact de la Semaine , etc.
- Aujourd’hui, un peu particulier: je donnerai un cours, puis vous commencerez la Série 01 avec les assistant.e.s.
Remarque 11.
Rappelons: il y a deux séances d’exercices, mais une seule série d’exercices par semaine.
Je suppose que vous avez déjà lu (ou lirez) toutes les informations disponibles sur le cours, dans Informations générales.
À propos du matériel didactique:
- Classe inversée vs classe “normale”
- Parallélisme avec GM
- Sur cette plateforme du cours d’Analyse 1: texte (online+pdfs), animations, vidéos, streamings+enregistrements GM, quiz
- Exercices: du bon usage des indications et de leurs solutions...
- Le système de questions/réponses.
- Sur la grande quantité d’information... organiser son workflow
- Ne pas se leurrer: pas de miracle technologique pour faire tout comprendre en analyse!
- Ne pas prendre trop de cours en inversé!
- Série 00: vous pouvez la parcourir. On reviendra sur plusieurs des sujets traités.
Avant de poser une question sur un exercice:
- s’assurer qu’on a compris l’énoncé (donc relu les définitions)
- lire les indications
- lire les questions déjà posées, et là: 1) attention aux spoilers! 2) LIKER les réponses utiles
Si on pose une question sur le forum:
- dire clairement quel type d’aide on veut
- utiliser (applet sous Écrire en )
- éviter les captures d’écran
- penser aux autres/futurs utilisateurs/trices
À propos des réponses de l’IA:
- LLM hébergé à l’EPFL
- expérimental
- à utiliser avec précaution
- validées/éditées par moi-même
Aujourd’hui:
Quelques sections du Chapitre II (Notions élémentaires):
- 11h-12h: Discussions/questions, QCMs/vrai-faux, début de la Série 01
Exercice. (1) Trouver l’ensemble image de la fonction dont le graphe est donné dans l’animation ci-dessous:
Exercice. (2) Calculer l’ensemble image de la fonction
Exercice. (3) Calculer l’ensemble image de la fonction
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1.5 Valeur absolue et distance
Définition 1.1.
La valeur absolue de est définie par
Exemple 1.3.
- Puisque , on a .
- Puisque , on a .
Les propriétés suivantes suivent de la définition: pour tous ,
- si et seulement si
- Si , alors si et seulement si .
- Si , .
- Si on divise un réel non-nul par sa valeur absolue, on obtient son signe:
Proposition 1.1.
(Inégalité triangulaire) Pour tous ,
L’inégalité triangulaire sera utilisée très souvent lorsqu’on aura besoin d’estimer des sommes de réels. Plus précisément, considérons la somme de deux nombres et , que l’on sait être “petits” dans le sens où on a trouvé un tel que et . (Remarquons que ceci n’implique rien sur les signes des nombres et .) Alors, l’inégalité triangulaire permet de garantir que et donc
Remarque 1.2.
On peut utiliser la valeur absolue pour caractériser le nombre “zéro”: c’est l’unique nombre dont la valeur absolue est plus petite que tout nombre positif:
1.5.1 Distance
La valeur absolue permet de mesurer la proximité de deux réels , en définissant leur distance:
Lemme 1.2.
(Propriétés de la distance)
- pour tous . De plus, si et seulement si .
- pour tous
- Pour tous ,
Proof
Les deux premières affirmations suivent directement des propriétés de la valeur absolue. Pour la troisième, on insère , et on utilise l’inégalité triangulaire: Remarque: En géométrie Euclidienne, l’inégalité triangulaire dit que le chemin direct allant d’un point à un point est plus court que tout autre chemin (rectiligne) passant par un point intermédiaire : 
On utilisera souvent les équivalences suivantes: 
Quiz 1.5.1.Soit .
Quiz 1.5.2.Vrai ou faux?
Quiz 1.5.3.Vrai ou faux?
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