Séance 01 (Lundi 7 sept.)

Bienvenue à toutes et à tous!

Communications

Provenance étudiant.e.s dans cette classe inversée (Total: 250):
Cette séance contact (cliquer) aura lieu tous les lundis de 8h15 à 10h, ici (CE 1 6).
Les séances d’exercices (cliquer): La première a lieu les lundis de 10h15 à 12h, ici (CE 1 6). La deuxième a lieu les mercredis de 10h15 à 12h, ailleurs.
À partir de la semaine 04: séances du soir. (infos suivront)
Le workflow: à la Semaine $N$ , on commence par la séance de contact du lundi, pendant laquelle on reparle de la matière de la Semaine $N - 1$ , puis vous commencez à travailler sur les exercices de la Série $N$ . Tout au long de la Semaine $N$ , vous étudiez la matière (sous “Contenu $N$ ”), que l’on testera à la séance contact de la Semaine $N + 1$ , etc.
Aujourd’hui, un peu particulier: je donnerai un cours, puis vous commencerez la Série 01 avec les assistant.e.s.

Remarque 11.

Rappelons: il y a deux séances d’exercices, mais une seule série d’exercices par semaine.

Je suppose que vous avez déjà lu (ou lirez) toutes les informations disponibles sur le cours, dans Informations générales.

À propos du matériel didactique:

Classe inversée vs classe “normale”
Parallélisme avec GM
Sur cette plateforme du cours d’Analyse 1: texte (online+pdfs), animations, vidéos, streamings+enregistrements GM, quiz
Exercices: du bon usage des indications et de leurs solutions...
Le système de questions/réponses.
Sur la grande quantité d’information... organiser son workflow
Ne pas se leurrer: pas de miracle technologique pour faire tout comprendre en analyse!
Ne pas prendre trop de cours en inversé!
Série 00: vous pouvez la parcourir. On reviendra sur plusieurs des sujets traités.

Avant de poser une question sur un exercice:

s’assurer qu’on a compris l’énoncé (donc relu les définitions)
lire les indications
lire les questions déjà posées, et là: 1) attention aux spoilers! 2) LIKER les réponses utiles

Si on pose une question sur le forum:

dire clairement quel type d’aide on veut
utiliser $L A T E X$ (applet sous Écrire en $L A T E X$ )
éviter les captures d’écran
penser aux autres/futurs utilisateurs/trices

À propos des réponses de l’IA:

LLM hébergé à l’EPFL
expérimental
à utiliser avec précaution
validées/éditées par moi-même

Aujourd’hui:

Quelques sections du Chapitre II (Notions élémentaires):

11h-12h: Discussions/questions, QCMs/vrai-faux, début de la Série 01

Exercice. (1) Trouver l’ensemble image de la fonction dont le graphe est donné dans l’animation ci-dessous:

Exercice. (2) Calculer l’ensemble image de la fonction

f : R ∖ {- 2} x \to R \mapsto f (x) = \frac{x + 1}{x + 2} .

Exercice. (3) Calculer l’ensemble image de la fonction

f : R x \to R \mapsto f (x) = \frac{x ^{2}}{x ^{2} + 1} .

Les nombres réels forment avant tout un ensemble dans lequel on peut faire de l’arithmétique, c’est-à-dire dans lequel on peut additionner, soustraire, multiplier et diviser. (En mathématiques, un ensemble muni de ces opérations est appelé un corps. )

La première opération, l’addition notée “

+

”, est une opération qui associe à une paire de réels

x, y

un nouveau réel noté

x + y

. Cette opération satisfait aux propriétés suivantes:

$x + y = y + x$ pour toute paire $x, y \in R$
$x + (y + z) = (x + y) + z$ pour tous $x, y, z \in R$
Il existe un élément $0 \in R$ , appelé élément neutre pour l’addition (ou simplement “zéro”), tel que $x + 0 = 0 + x = x$ pour tout $x \in R$ .
Pour tout $x \in R$ il existe un unique élément noté $- x \in R$ et appelé opposé de $x$ , tel que $x + (- x) = 0$ .

x, y \in R

, on peut définir leur soustraction:

x - y := x + (- y) .

La deuxième opération, la multiplication, notée “

\cdot

”, associe à une paire de réels

x, y

un nouveau réel noté

x \cdot y

. Elle satisfait aux propriétés suivantes:

$x \cdot y = y \cdot x$ pour tous $x, y \in R$
$x \cdot (y \cdot z) = (x \cdot y) \cdot z$ pour tout triplet $x, y, z \in R$
$x \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z$ pour tous $x, y, z \in R$ ,
Il existe un élément $1 \in R$ , appelé élément neutre pour la multiplication (ou simplement “un”), tel que $1 \cdot x = x \cdot 1 = x$ pour tout $x \in R$ .
Pour tout $x \in R$ , $x \neq = 0$ , il existe un unique élément noté $x^{- 1} \in R$ , appelé inverse de $x$ , tel que $x \cdot x^{- 1} = x^{- 1} \cdot x = 1$ .

Souvent, on écrit

x y

au lieu de

x \cdot y

.
Si

x, y \in R

et si

y \neq = 0

, on peut définir leur division:

x \div y := x \cdot y^{- 1} .

En général, on écrit

\frac{x}{y}

au lieu de

x \div y

Remarque 1.1.

Q

est aussi muni de ces opérations, et les mêmes propriétés sont satisfaites. Ce n’est pas le cas de

N

(dans lequel, par exemple,

3

n’a pas d’opposé), ni de

Z

(dans lequel, par exemple,

2

n’a pas d’inverse).

Communications

Aujourd’hui:

1.2 Règles de calcul: +,−,⋅,÷

1.2 Règles de calcul: $+, -, \cdot, \div$