Séance 01 (Lundi 7 sept.)

Bienvenue à toutes et à tous!

Communications

Provenance étudiant.e.s dans cette classe inversée (Total: 250):
Cette séance contact (cliquer) aura lieu tous les lundis de 8h15 à 10h, ici (CE 1 6).
Les séances d’exercices (cliquer): La première a lieu les lundis de 10h15 à 12h, ici (CE 1 6). La deuxième a lieu les mercredis de 10h15 à 12h, ailleurs.
À partir de la semaine 04: séances du soir. (infos suivront)
Le workflow: à la Semaine $N$ , on commence par la séance de contact du lundi, pendant laquelle on reparle de la matière de la Semaine $N - 1$ , puis vous commencez à travailler sur les exercices de la Série $N$ . Tout au long de la Semaine $N$ , vous étudiez la matière (sous “Contenu $N$ ”), que l’on testera à la séance contact de la Semaine $N + 1$ , etc.
Aujourd’hui, un peu particulier: je donnerai un cours, puis vous commencerez la Série 01 avec les assistant.e.s.

Remarque 11.

Rappelons: il y a deux séances d’exercices, mais une seule série d’exercices par semaine.

Je suppose que vous avez déjà lu (ou lirez) toutes les informations disponibles sur le cours, dans Informations générales.

À propos du matériel didactique:

Classe inversée vs classe “normale”
Parallélisme avec GM
Sur cette plateforme du cours d’Analyse 1: texte (online+pdfs), animations, vidéos, streamings+enregistrements GM, quiz
Exercices: du bon usage des indications et de leurs solutions...
Le système de questions/réponses.
Sur la grande quantité d’information... organiser son workflow
Ne pas se leurrer: pas de miracle technologique pour faire tout comprendre en analyse!
Ne pas prendre trop de cours en inversé!
Série 00: vous pouvez la parcourir. On reviendra sur plusieurs des sujets traités.

Avant de poser une question sur un exercice:

s’assurer qu’on a compris l’énoncé (donc relu les définitions)
lire les indications
lire les questions déjà posées, et là: 1) attention aux spoilers! 2) LIKER les réponses utiles

Si on pose une question sur le forum:

dire clairement quel type d’aide on veut
utiliser $L A T E X$ (applet sous Écrire en $L A T E X$ )
éviter les captures d’écran
penser aux autres/futurs utilisateurs/trices

À propos des réponses de l’IA:

LLM hébergé à l’EPFL
expérimental
à utiliser avec précaution
validées/éditées par moi-même

Aujourd’hui:

Quelques sections du Chapitre II (Notions élémentaires):

11h-12h: Discussions/questions, QCMs/vrai-faux, début de la Série 01

Exercice. (1) Trouver l’ensemble image de la fonction dont le graphe est donné dans l’animation ci-dessous:

Exercice. (2) Calculer l’ensemble image de la fonction

f : R ∖ {- 2} x \to R \mapsto f (x) = \frac{x + 1}{x + 2} .

Exercice. (3) Calculer l’ensemble image de la fonction

f : R x \to R \mapsto f (x) = \frac{x ^{2}}{x ^{2} + 1} .

La deuxième caractéristique de l’ensemble des nombres réels est que deux réels

x, y

peuvent toujours être comparés. Si ils sont égaux,

x = y

, il n’y a pas lieu de les comparer, mais si ils sont distincts,

x \neq = y

, alors il y en a nécessairement un qui est plus petit que l’autre:

Si $x$ est plus petit que $y$ , on note $x < y$ .
Si $x$ est plus grand que $y$ , on note $x > y$ .

Le fait que l’on puisse ainsi comparer n’importe quelle paire de réels distincts représente ce qu’on appelle un ordre total.
L’ordre total représente l’intuition que nous avons pour la position relative de deux points sur une droite.

x < y

: “

x

est à gauche de

y

”,

x > y

: “

x

est à droite de

y

”,

Lorsqu’on veut comparer deux réels sans forcément se préoccuper de savoir s’ils sont distincts:

Si $x$ est plus petit ou égal à $y$ , on note $x ⩽ y$ .
Si $x$ est plus grand ou égal à $y$ , on note $x ⩾ y$ .

Exemple 1.1.

Toutes les inégalités ci-dessous sont vraies:

0 < \frac{1}{2} ⩽ 1, 1 ⩾ 1, 3 < π < 4 ⩽ 4.1 .

Par contre, les suivantes sont fausses:

0 > 0, - 1 < - 2, 0.99999 \dots < 1 .

Énonçons les propriétés des relations “

⩽, ⩾, <, >

”:

Pour toute paire $x, y \in R$ , on a soit $x ⩽ y$ , soit $y ⩽ x$ . Si on a à la fois $x ⩽ y$ et $y ⩽ x$ , alors $x = y$ .
$x ⩽ x$ pour tout $x \in R$ .
Si $x ⩽ y$ et $y ⩽ z$ , alors $x ⩽ z$ .
Si $x ⩽ y$ , alors $x + z ⩽ y + z$ pour tout $z \in R$ .
Si $0 ⩽ x$ et $0 ⩽ y$ , alors $0 ⩽ x \cdot y$

Informel 1.1.La troisième propriété est constamment utilisées en analyse. En effet, pour montrer qu’un nombre

x

est plus petit ou égal à un nombre

z

, on passera souvent par l’utilisation d’un réel intermédiaire

y

, et on vérifiera les deux relations “

x ⩽ y

”, “

y ⩽ z

”, qui ensemble garantissent que

x ⩽ z

D’autres propriétés peuvent être obtenues à partir des propriétés de base.

Exemple 1.2.

Montrons que si

x ⩽ y

s ⩽ t

, alors

x + s ⩽ y + t

. En effet, par la propriété 4.,

x ⩽ y

implique

x + s ⩽ y + s

. Mais, encore une fois par la propriété 4.,

s ⩽ t

implique

y + s = s + y ⩽ t + y = y + t

. On a donc

x + s ⩽ y + s et y + s ⩽ y + t,

ce qui donne, par la propriété 3.:

x + s ⩽ y + t

1.3.1 Signe

Un réel

x \in R

est dit

positif (resp. strictement positif) si $x ⩾ 0$ (resp. $x > 0$ ),
négatif (resp. strictement négatif) si $x ⩽ 0$ (resp. $x < 0$ ).

Quiz 1.3.1.(Ordre total sur

R

.) Vrai ou faux?

Quiz 1.3.2.Vrai ou faux?

Communications

Aujourd’hui:

1.3 Ordre: ⩽,⩾,<,>

1.3.1 Signe

1.3 Ordre: $⩽, ⩾, <, >$