Séance 01 (Lundi 7 sept.)

Bienvenue à toutes et à tous!

Communications

Provenance étudiant.e.s dans cette classe inversée (Total: 250):
Cette séance contact (cliquer) aura lieu tous les lundis de 8h15 à 10h, ici (CE 1 6).
Les séances d’exercices (cliquer): La première a lieu les lundis de 10h15 à 12h, ici (CE 1 6). La deuxième a lieu les mercredis de 10h15 à 12h, ailleurs.
À partir de la semaine 04: séances du soir. (infos suivront)
Le workflow: à la Semaine $N$ , on commence par la séance de contact du lundi, pendant laquelle on reparle de la matière de la Semaine $N - 1$ , puis vous commencez à travailler sur les exercices de la Série $N$ . Tout au long de la Semaine $N$ , vous étudiez la matière (sous “Contenu $N$ ”), que l’on testera à la séance contact de la Semaine $N + 1$ , etc.
Aujourd’hui, un peu particulier: je donnerai un cours, puis vous commencerez la Série 01 avec les assistant.e.s.

Remarque 11.

Rappelons: il y a deux séances d’exercices, mais une seule série d’exercices par semaine.

Je suppose que vous avez déjà lu (ou lirez) toutes les informations disponibles sur le cours, dans Informations générales.

À propos du matériel didactique:

Classe inversée vs classe “normale”
Parallélisme avec GM
Sur cette plateforme du cours d’Analyse 1: texte (online+pdfs), animations, vidéos, streamings+enregistrements GM, quiz
Exercices: du bon usage des indications et de leurs solutions...
Le système de questions/réponses.
Sur la grande quantité d’information... organiser son workflow
Ne pas se leurrer: pas de miracle technologique pour faire tout comprendre en analyse!
Ne pas prendre trop de cours en inversé!
Série 00: vous pouvez la parcourir. On reviendra sur plusieurs des sujets traités.

Avant de poser une question sur un exercice:

s’assurer qu’on a compris l’énoncé (donc relu les définitions)
lire les indications
lire les questions déjà posées, et là: 1) attention aux spoilers! 2) LIKER les réponses utiles

Si on pose une question sur le forum:

dire clairement quel type d’aide on veut
utiliser $L A T E X$ (applet sous Écrire en $L A T E X$ )
éviter les captures d’écran
penser aux autres/futurs utilisateurs/trices

À propos des réponses de l’IA:

LLM hébergé à l’EPFL
expérimental
à utiliser avec précaution
validées/éditées par moi-même

Aujourd’hui:

Quelques sections du Chapitre II (Notions élémentaires):

11h-12h: Discussions/questions, QCMs/vrai-faux, début de la Série 01

Exercice. (1) Trouver l’ensemble image de la fonction dont le graphe est donné dans l’animation ci-dessous:

Exercice. (2) Calculer l’ensemble image de la fonction

f : R ∖ {- 2} x \to R \mapsto f (x) = \frac{x + 1}{x + 2} .

Exercice. (3) Calculer l’ensemble image de la fonction

f : R x \to R \mapsto f (x) = \frac{x ^{2}}{x ^{2} + 1} .

Dans cette section, on considère des fonctions

f : A \to B

que l’on appellera réelles, ce qui signifie que

A

B

sont des sous-ensembles de

R

. L’étude des fonctions de ce type constitue un des objectifs de ce cours, surtout via la notion de limite qui sera introduite bien plus tard. Ici nous ne ferons qu’illustrer les notions de la section précédente dans ce cas particulier.

II.3.1 Graphe et ensemble image

Lorsque

A

B

sont des sous-ensembles de

R

, on peut représenter géométriquement toute l’information contenue dans une fonction

f : A \to B

dans son graphe, qui est défini comme l’ensemble des points

(x, f (x))

du plan cartésien, obtenus en laissant

x

parcourir tout l’ensemble

A

graphe (f) = {(x, y) \in R^{2} : x \in A, y = f (x) \in B} .

Sur l’animation ci-dessus, on peut “voir”

Im (f)

en activant “trace”, et en faisant varier

x \in A

, pour voir apparaître les points de

Im (f)

sur l’axe

y

.
Dans la pratique, on détermine l’ensemble image de

f : A \to B

par le calcul: en cherchant les

y \in B

pour lesquels l’équation

f (x) = y (II.1)

possède au moins une solution

x \in A

. Dans les cas simples, cela revient à pouvoir isoler

x

dans cette dernière expression.

Exemple II.13.

Soit

f : [2, 3] x \to R \mapsto f (x) := \frac{3 x - 4}{2} .

Par définition,

Im (f) = {y \in R : \exists x \in [2, 3] tel que f (x) = y}

Pour calculer

Im (f)

, fixons

y \in R

, et essayons de résoudre l’équation

y = f (x)

, c’est-à-dire

y = \frac{3 x - 4}{2} .

En isolant simplement

x

, on trouve la préimage de

y

x = \frac{2 y + 4}{3} .

Comme il faut que la préimage appartienne à

A = [2, 3]

, on veut que

2 ⩽ \frac{2 y + 4}{3} ⩽ 3,

qui est équivalente, après quelques manipulations, à

1 ⩽ y ⩽ \frac{5}{2} .

On résume: l’équation

y = f (x)

possède une solution

x \in [2, 3]

si et seulement

y \in [1, \frac{5}{2}]

. Ceci signifie que

Im (f) = [1, \frac{5}{2}]

. On peut le vérifier graphiquement:

II.3.2 Injections, surjections, bijections

Dans le cas des fonctions réelles, l’injectivité et la surjectivité peuvent se caractériser en termes du graphe de

f

, comme suit. Une fonction réelle

f : A \to B

est

surjective si toute droite horizontale d’équation $y = b$ , avec $b \in B$ , coupe le graphe de $f$ en au moins un point,
injective si toute droite horizontale d’équation $y = b$ , avec $b \in B$ , coupe le graphe de $f$ en au plus un point .

II.3.3 Graphe de la fonction réciproque

Si une fonction réelle

f

est bijective, comment le graphe de

f^{- 1}

est-il relié à celui de

f

?
Plus précisément, considérons une fonction

f : A x \to B \mapsto f (x) .

On rappelle que le graphe de

f

est l’ensemble des paires

(x, y)

, où

y = f (x)

x \in A

. Si

f

est bijective, le graphe de sa réciproque

f^{- 1} : B y \to A \mapsto f^{- 1} (y)

est l’ensemble des paires

(y, x)

, où

x = f^{- 1} (y)

y \in B

. On a donc qu’un point

(x, y)

appartient au graphe de

f

si et seulement si le point

(y, x)

appartient au graphe de

f^{- 1}

. Or dans le plan, l’opération qui transforme

(x, y)

(y, x)

est une réflexion par rapport à la diagonale du premier quadrant. On en conclut que si le graphe de

f

est connu, alors le graphe de

f^{- 1}

s’obtient en réfléchissant celui de $f$ à travers la diagonale du premier quadrant. Voyons quelques exemples.

Exemple II.14.

Considérons

f : R x \to R \mapsto \frac{x}{2} + 1 .

Soient

x, x^{'} \in R

tels que

f (x) = f (x^{'})

. Ceci signifie que

\frac{x}{2} + 1 = \frac{x ^{'}}{2} + 1,

qui après simplification donne

x = x^{'}

. Donc

f

est injective. Ensuite, montrons que tout

y \in R

possède une préimage

x

. En effet, on peut isoler

x

dans

y = f (x) = \frac{x}{2} + 1

, qui donne

x = 2 (y - 1)

. Donc

f

est aussi surjective.
Ainsi,

f

est bijective, et sa réciproque est donnée par

f^{- 1} : R y \to R \mapsto 2 (y - 1) .

Remarquons que l’on peut nommer la variable comme on veut, et on peut donc écrire

f^{- 1} : R x \to R \mapsto f^{- 1} (x) = 2 (x - 1) .

Le graphe de

f^{- 1} (x) = 2 (x - 1)

s’obtient à partir de celui de

f (x) = \frac{x}{2} + 1

, par une réflexion par rapport à la diagonale:

Exemple II.15.

Considérons la fonction “au carré”:

f : R x \to R \mapsto x^{2} .

Puisque

f (- x) = f (x)

pour tout

x

f

n’est pas injective. On peut la rendre injective en restreignant son ensemble de départ, en prenant par exemple

R^{+}

f : R_{+} x \to R \mapsto x^{2} .

Cette fonction est maintenant injective puisque

f (x) = f (x^{'})

est équivalent à

x^{2} - x^{'}^{2} = 0

, c’est-à-dire

(x - x^{'}) (x + x^{'}) = 0

. En se souvenant que

x, x^{'} \in R_{+}

, on voit que cette identité est vérifiée si et seulement si

x = x^{'}

.
On montrera plus tard (voir ici) que

Im (f) = R_{+}

(plus précisément, nous montrerons que pour tout

y \in R_{+}

, il existe un

x \in R_{+}

tel que

x^{2} = y

). Ainsi,

f : R_{+} x \to R_{+} \mapsto x^{2},

est bijective. Sa réciproque est appelée la fonction racine carrée, et s’écrit en général “

\cdot

”:

f^{- 1} : R_{+} y \to R_{+} \mapsto f^{- 1} (y) = y .

Son graphe s’obtient en réfléchissant celui de

f (x) = x^{2}

à travers la diagonale du premier quadrant:

Quiz II.3.1.Vrai ou faux? Si

f : R \to R

est injective, alors

Communications

Aujourd’hui:

II.3 Cas des fonctions réelles

II.3.1 Graphe et ensemble image

II.3.2 Injections, surjections, bijections

II.3.3 Graphe de la fonction réciproque