Examen–Q-1: Soit le nombre complexe $z=1+\sqrt{3}\mathrm{i}$. Alors:

$|z^6|>73$$z^{14}\in \mathbb{R}$$\mathrm{Re}(z^8)>0$$\mathrm{Im}(z^{11})<0$

Vérifier

Examen–Q-2: Soient les ensembles du plan complexe $$\begin{array}{rl}A& =\left\{z\in \mathbb{C}:z^2\left(|z|-2\right)=0\right\},\\ B& =\left\{z\in \mathbb{C}:\mathrm{Re}\left(z\right)=1\right\}\end{array}$$. Alors:

$A\cap B$ contient deux points$A\cap B$ est l’ensemble vide$A\cap B$ contient exactement un point$A\cap B$ contient tous les points d’une droite

Vérifier

Examen–Q-3: Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tels que la fonction $$f(x)=\{\begin{array}{ll}ax+b& \text{ si }x⩽0,\\ \frac{\sqrt{1+x}-1}{x}& \text{ si }x>0,\end{array}$$ est dérivable en $x=0$. Alors:

$f(-3)=\frac{1}{4}$$f(-3)=-\frac{3}{8}$$f(-3)=\frac{7}{8}$$f(-3)=\frac{3}{8}$

Vérifier

Examen–Q-4: Soit $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ la fonction définie par $$f(x)=\{\begin{array}{ll}1& \text{si }x⩽0,\\ \sqrt{1-x^2}& \text{si }0<x⩽1,\\ 0& \text{si }x>1.\end{array}$$ Alors:

$f$ est continue en $x=0$ et dérivable en $x=1$$f$ est dérivable à gauche en $x=0$ et dérivable en $x=1$$f$ est dérivable en $x=0$ et continue en $x=1$$f$ est dérivable à droite en $x=0$ et dérivable à gauche en $x=1$

Vérifier

Examen–Q-5: La dérivée de la fonction $f(x)=(1+x^2{)}^{1+x^2}$ au point $x=1$ est égale à:

$8\left(\log (2)+1\right)$$4\left(\log (2)+1\right)$$4$$8$

Vérifier

Examen–Q-6: Soit $f:\left]-1,1\right[\to \mathbb{R}$ la fonction définie par $f(t)=\frac{1}{4+3t}$, et $t_0=0$. Alors le développement limité d’ordre deux de $f$ autour de $t_0$ est donné par :

$f(t)=\frac{1}{4}-\frac{3}{16}t+\frac{9}{64}{t}^2+t^2\epsilon (t)$$f(t)=\frac{1}{4}+\frac{3}{16}t-\frac{9}{64}{t}^2+t^2\epsilon (t)$$f(t)=\frac{1}{4}-\frac{3}{16}t+\frac{9}{128}{t}^2+t^2\epsilon (t)$$f(t)=\frac{1}{4}-\frac{3}{16}t+\frac{9}{32}{t}^2+t^2\epsilon (t)$

Vérifier

Examen–Q-7: Soit $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ la fonction définie par $f(x)=\sin (\sin (x))$, et $x_0=0$. Alors le développement limité d’ordre cinq de $f$ autour de $x_0$ est donné par:

$f(x)=x-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{10}{x}^5+x^5\epsilon (x)$$f(x)=x-\frac{1}{6}{x}^3+\frac{1}{120}{x}^5+x^5\epsilon (x)$$f(x)=x-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{120}{x}^5+x^5\epsilon (x)$$f(x)=x-\frac{1}{6}{x}^3+\frac{1}{10}{x}^5+x^5\epsilon (x)$

Vérifier

Examen–Q-8: Soit $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ la fonction définie par $f(x)=x^3$. Soit $f_1=f$ et, pour tout $n⩾2$, $f_n=f\circ f_{n-1}$. Alors pour tout $n\ge 1$:

$f_n(x)=x^{(3^n)}$$f_n(x)=x^{(3n)}$$f_n(x)=(3x{)}^n$$f_n(x)=n{x}^3$

Vérifier

Examen–Q-9: Soit $A$ l’ensemble défini par $A=\left\{x\in \mathbb{R}:0<\arctan \left(\frac{1}{x}\right)<\frac{\pi }{4}\right\}$. Alors:

$A$ n’est pas borné$\inf A=\frac{\pi }{2}$$A=\left]1,\frac{\pi }{2}\right[$$A=\left]0,1\right[$

Vérifier

Examen–Q-10: L’intégrale généralisée ${\int }_1^{2^{-}}\frac{x+1}{\sqrt{2-x}}\mathrm{d}x$

converge et vaut $\frac{16}{3}$converge et vaut $\frac{8}{3}$converge et vaut $4$diverge

Vérifier

Examen–Q-11: L’intégrale ${\int }_{-\pi }^{\pi }x\sin (x)\mathrm{d}x$ vaut

$-\pi$$2\pi$$\frac{3\pi }{2}$$0$

Vérifier

Examen–Q-12: L’intégrale ${\int }_0^{1}x\sqrt{x^2+1}\mathrm{d}x$ vaut

$3(2\sqrt{2}-1)$$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$\frac{2\sqrt{2}-1}{3}$

Vérifier

Examen–Q-13: Soit ${\left(a_n\right)}_{n⩾0}$ la suite définie par $a_n=\frac{{\left(n+3\right)}^{1/2}-n^{1/2}}{{\left(n+1\right)}^{-1/2}}$. Alors:

$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=3$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\frac{3}{2}$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=+\infty$

Vérifier

Examen–Q-14: Soit $f:\left]-\pi ,\pi \right[\setminus \{0\}\to \mathbb{R}$ la fonction définie par $$f(x)=\frac{\arctan (x^2)}{x\sin (x)}.$$ Alors:

$f$ admet un prolongement par continuité en $x=0$, noté $\hat{f}$, et $\hat{f}(0)=0$.$f$ admet un prolongement par continuité en $x=0$, noté $\hat{f}$, et $\hat{f}(0)=\frac{\pi }{2}$.$f$ n’admet pas de prolongement par continuité en $x=0$ car $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)\ne \underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)$.$f$ admet un prolongement par continuité en $x=0$, noté $\hat{f}$, et $\hat{f}(0)=1$.

Vérifier

Examen–Q-15: Parmi les fonctions $$f(x)=\{\begin{array}{ll}\sqrt{|x|}\sin (\frac{1}{x})& \text{si}x\ne 0,\\ 1& \text{si}x=0,\end{array}$$$$g(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x}\arctan \left(x\right)& \text{si}x\ne 0,\\ 1& \text{si}x=0,\end{array}$$ lesquelles sont continues en $x=0$?

$f$ et $g$$f$, mais pas $g$$g$, mais pas $f$ni $f$, ni $g$

Vérifier

Examen–Q-16: Pour toute fonction $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ qui admet en $x=0$ un point de minimum local, on a:

$f^{\prime }(0)\ne 0$ et $f^{\prime \prime }(0)\ne 0$$f^{\prime }(0)=0$ et $f^{\prime \prime }(0)\ne 0$$f^{\prime }(0)=0$ et $f{}^{\prime \prime }(0)\ge 0$$f^{\prime }(0)=0$ et $f^{\prime \prime }(0)⩽0$

Vérifier

Examen–Q-17: Soit $(a_n{)}_{n⩾1}$ la suite définie par $a_n=(-1{)}^n\sin \left(\frac{1}{n^2}\right)$. Alors:

$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ converge, mais pas absolument$\sum _{n=1}^{\infty }(a_n{)}^2$ converge, mais $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ diverge$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ converge absolument${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=0$, mais $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ diverge

Vérifier

Examen–Q-18: L’intervalle de convergence $I$ de la série entière $\sum _{n=0}^{\infty }\sqrt{n}{\left(x+1\right)}^n$ est donné par:

$I=\left]-2,0\right[$$I=\mathbb{R}$$I=\left[-\frac{5}{2},\frac{1}{2}\right]$$I=\left]-1,1\right[$

Vérifier

Examen–Q-19: Soit la série avec paramètre $b\in \mathbb{R}$ définie par: $$s=\sum _{k=1}^{\infty }{\left(b+\frac{1}{k}\right)}^k$$ Alors $s$ converge pour tout:

$b\in \left]-1,1\right]$$b\in \left]-1,1\right[$$b<1$$b⩽1$

Vérifier

Examen–Q-20: Soit $(a_n{)}_{n⩾1}$ la suite définie par $a_n=\frac{{\left(5n+1\right)}^n}{n^n{5}^n}$. Alors:

$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n={\mathrm{e}}^{\frac{1}{5}}$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=5$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=+\infty$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0$

Vérifier

Examen–Q-21: Soit $c\in \mathbb{R}$, et $(a_n{)}_{n⩾1}$ la suite définie par $$a_n=\{\begin{array}{ll}{\sum }_{k=0}^n\frac{2^k}{k!}& n\text{ pair},\\ {\left({\sum }_{k=0}^n\frac{1}{k!}\right)}^c& n\text{ impair}\end{array}$$ Alors:

la suite $(a_n{)}_{n⩾1}$ diverge quelle que soit la valeur de $c$la suite $(a_n{)}_{n⩾1}$ converge pour exactement une valeur de $c$$\underset{m\to \infty }{\lim }{a}_{2m}=+\infty$$\underset{m\to \infty }{\lim }{a}_{2m+1}=c$

Vérifier

Examen–Q-22: Pour toute fonction $f:\left[0,4\right]\to \mathbb{R}$, continue sur $\left[0,4\right]$ et dérivable sur $\left]0,4\right[$, qui satisfait $f^{\prime }(x)⩾2$ pour tout $x\in \left]0,4\right[$, on a:

$f(4)-f(1)⩽4$$f(2)-f(0)⩾4$$f(4)-f(0)⩽1$$0⩽f(3)-f(2)⩽1$

Vérifier

Examen–Q-23: Soit $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ la fonction définie par $f(x)=x^2\sin (x^2)$, et $I\subset \mathbb{R}$ son ensemble image, $$I=\{y\in \mathbb{R}:\exists x\in \mathbb{R}\text{ tel que }f(x)=y\}.$$ Alors:

$I=\left[-1,1\right]$$I=\left[0,1\right]$$I=\left[0,+\infty \right[$$I=\mathbb{R}$

Vérifier

Examen–Q-24: Pour tout $y\in \mathbb{R}$ donné, $y\ne 0$, l’équation $z^4=\mathrm{i}y$ possède exactement quatre racines distinctes dans $\mathbb{C}$. $✓$ Vrai

Examen–Q-25: Soient $g$ et $h$ deux fonctions dérivables sur $\left]-1,1\right[$, telles que $g(0)=h(0)=0$, et $h^{\prime }(x)\ne 0$ pour tout $x\in \left]-1,1\right[$. Si $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{g^{\prime }(x)}{h^{\prime }(x)}$ n’existe pas, alors $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{g(x)}{h(x)}$ n’existe pas. $\times$ Faux

Examen–Q-26: Soit $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ une fonction possédant un développement limité d’ordre deux autour de zéro, donné par $$f(x)=a+bx+c{x}^2+x^2\epsilon (x).$$ Alors le développement limité d’ordre deux de $g(x)=f(x{)}^3$ autour de zéro est donné par $$g(x)=a^3+b^{3}x+c^3{x}^2+x^2\epsilon (x).$$$\times$ Faux

Examen–Q-27: Soit $f:\left]0,1\right[\to \mathbb{R}$ une fonction monotone, non-constante, et dérivable sur $\left]0,1\right[$. Alors soit $f^{\prime }(x)\ge 0$ pour tout $x\in \left]0,1\right[$, soit $f^{\prime }(x)⩽0$ pour tout $x\in \left]0,1\right[$. $✓$ Vrai

Examen–Q-28: Soient $(a_n{)}_{n\ge 0}$ et $(b_n{)}_{n\ge 0}$ deux suites convergentes avec $b_n\ne 0$ pour tout $n⩾0$. Alors la limite $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n}{b_n}$ existe. $\times$ Faux

Examen–Q-29: Soit $A\subset \mathbb{R}$. Si $\inf A\in A$ et $\sup A\in A$, alors $A$ est un intervalle fermé. $\times$ Faux

Examen–Q-30: Soient $(a_n{)}_{n⩾1}$ une suite de nombres réels telle que $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=1$, $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ une fonction continue, et $(b_n{)}_{n⩾1}$ la suite définie par $$b_n={\int }_0^{a_n}f(x)\mathrm{d}x,n⩾1.$$ Alors $(b_n{)}_{n⩾1}$ est une suite convergente. $✓$ Vrai

Examen–Q-31: Soit $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$. Si il existe $a\in \mathbb{R}$ tel que ${\lim }_{x\to a}f(x)=+\infty$, alors $f$ n’est pas continue sur $\mathbb{R}$. $✓$ Vrai

Examen–Q-32: Soit $f:\mathbb{N}\to \mathbb{R}$ une fonction telle que pour tout $n⩾1$, $f(n)>n$. Alors la série $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{f(n)}$ converge. $\times$ Faux

Examen–Q-33: Soit $(a_k{)}_{k⩾0}$ une suite de nombres réels telle que pour tout $k⩾0$, $a_k\ne 0$, et telle que $\underset{k\to \infty }{\lim }\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=0$. Alors la série entière $\sum _{k=0}^{\infty }{a}_k{x}^k$ converge pour tout $x\in \mathbb{R}$. $✓$ Vrai

Examen–Q-34: Si $(x_n{)}_{n\ge 0}$ est une suite de nombres réels telle que $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=+\infty$, alors elle ne possède aucune sous-suite bornée. $✓$ Vrai