Examen–Q-1: Soit $I={\int }_0^2\exp (x^2)\mathrm{d}x$. Alors

$I\ge 200$$2\le I\le 200$$I=\exp \left(\frac{8}{3}\right)-1$$0\le I<\frac{14}{3}$

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Examen–Q-2: Soit $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ la fonction définie par $$f(x)=\{\begin{array}{ccc}x\sin ({\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}}-1)& \text{si}& x\ne 0,\\ & & \\ 0& \text{si}& x=0.\end{array}$$ Alors

$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, mais $f^{\prime }$ n’est pas continue sur $\mathbb{R}$.$f$ est continue sur $\mathbb{R}$, et dérivable à gauche mais pas à droite en $x=0$.$f$ est continue sur $\mathbb{R}$, et dérivable à droite mais pas à gauche en $x=0$.$f$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}$.

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Examen–Q-3: Soit, pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $a_n=\left(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}\right)\sin \left(\frac{1}{n}\right)$. Alors

les séries $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ et $\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n{a}_n$ convergent.la série $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ converge, mais ne converge pas absolument.la série $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ diverge.la série $\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n{a}_n$ diverge.

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Examen–Q-4: Soit $R$ le rayon de convergence de la série entière $f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}^{(n^b)}{x}^n$.

Si $b=1$, alors $R=e^{-1}$.Si $b=3$, alors $R=e$.Si $b=2$, alors $R=1$.Si $b=4$, alors $R=e^2$.

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Examen–Q-5: Soit $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ définie par $f(x)=|x\cos \left(x\right)|$.

Il existe $u\in \left]0,\frac{\pi }{4}\right[$ tel que $f^{\prime }(u)=\frac{\sqrt{2}}{2}$.Il existe $u\in \left]-\frac{\pi }{8},\frac{\pi }{8}\right[$ tel que $f^{\prime }(u)=0$.$f$ est croissante sur $\left]0,\frac{\pi }{2}\right[$.Sur $\mathbb{R}$, $f$ possède un unique point de minimum local.

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Examen–Q-6: Parmi les fonctions $f,g,h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ suivantes, $$\begin{array}{rl}f(x)& =\{\begin{array}{ll}\sqrt{x}\sin (\frac{1}{x})& \text{ si }x>0\\ -\sqrt{-x}& \text{ si }x⩽0\end{array}\\ g(x)& =\{\begin{array}{ll}x\sinh \left(\frac{1}{x}\right)& \text{ si }x>0\\ 0& \text{ si }x⩽0\end{array}\\ h(x)& =\{\begin{array}{ll}\sqrt{x}\arctan \left(\frac{1}{x}\right)& \text{ si }x>0\\ x\log (|x|)& \text{ si }x<0\\ 0& \text{ si }x=0,\end{array}\end{array}$$ celles qui sont continues en $x=0$ sont:

toutes les trois$f$ et $g$$g$ et $h$$f$ et $h$

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Examen–Q-7: Soit l’intégrale définie $I={\int }_1^{2}x\log \left(1+x\right)\mathrm{d}x$. Alors

$I=2\log (3)+\frac{1}{2}\log (2)$$I=\frac{3}{2}\log (3)-\frac{1}{4}$$I=2\log (3)-\frac{1}{2}\log (2)$$I=\frac{1}{2}\log (2)+\frac{1}{4}$

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Examen–Q-8: Soit $f:\left[1,+\infty \right[\to \mathbb{R}$ la fonction définie par $f(x)=\sin \left(\arctan (\sqrt{x})\right)$. Alors l’ensemble image de $f$ est égal à

$\left[0,\frac{\sqrt{2}}{2}\right[$$]0,1]$$\left[\frac{\sqrt{2}}{2},1\right[$$[-1,1]$

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Examen–Q-9: Pour quelles valeurs de $a,b\in \mathbb{R}$ la fonction $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ définie par $$f(x)=\{\begin{array}{ll}(ax+1)(bx-1)& \text{si }x⩾0,\\ \sin (a^{2}x)-b& \text{si }x<0,\end{array}$$ est-elle dérivable en $x=0$?

$a=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$ et $b=-1$$a=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$ et $b=1$$a=\pm 1$ et $b=-1$$a=\pm 1$ et $b=1$

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Examen–Q-10: La partie imaginaire de $(-1+i\sqrt{3}{)}^5$ est

$32\sqrt{3}$$32\sqrt{3}i$$16\sqrt{3}$$-16\sqrt{3}$

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Examen–Q-11: La limite $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{5n+\sqrt{3n-\sqrt{2n}}}}$

n’existe pasexiste et vaut $\frac{1}{\sqrt{5}}$existe et vaut $\frac{1}{\sqrt{6}}$existe et vaut $\frac{1}{\sqrt{5+\sqrt{3-\sqrt{2}}}}$

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Examen–Q-12: Soit $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ définie par $f(x)=\frac{1}{1+{\text{e}}^{-x}}$. Le développement limité d’ordre 3 de $f$ autour de $x_0=0$ est donné par

$f(x)=\frac{1}{2}+\frac{x}{4}-\frac{x^3}{48}+x^3\epsilon (x)$$f(x)=\frac{1}{2}+\frac{x}{4}-\frac{x^3}{24}+x^3\epsilon (x)$$f(x)=\frac{1}{2}-\frac{x}{4}-\frac{x^3}{48}+x^3\epsilon (x)$$f(x)=\frac{1}{2}+\frac{x}{4}+\frac{x^3}{48}+x^3\epsilon (x)$

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Examen–Q-13: Soit ${\left(a_n\right)}_{n⩾1}$ la suite définie ainsi: pour tout $n⩾1$, $$a_n=\sin \left(\frac{\pi }{4}+n\frac{\pi }{2}\right)+\cos \left(\frac{\pi }{4}+n\frac{\pi }{2}\right).$$ Alors

$\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}{a}_n=\sqrt{2}$ et $\underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}{a}_n=0$$\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}{a}_n=0$ et $\underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}{a}_n=-\sqrt{2}$$\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}{a}_n=\sqrt{2}$ et $\underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}{a}_n=-\sqrt{2}$$\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}{a}_n=2$ et $\underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}{a}_n=-2$

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Examen–Q-14: La série numérique $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{\sqrt[5]{n^{\frac{2}{\alpha }}(n^{2\alpha }+1)}}$ converge si

$1<\alpha <2$$\alpha =\frac{1}{2}$$0<\alpha <\frac{1}{2}$$\frac{1}{2}<\alpha <1$

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Examen–Q-15: Soit $x_0\in \mathbb{R}$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $x_{n+1}=x_n-\frac{1}{3^n}$. Alors

pour tout $x_0\in \mathbb{R}$, la suite $(x_n{)}_{n⩾0}$ converge vers $0$.pour tout $x_0\in \mathbb{R}$, la suite $(x_n{)}_{n⩾0}$ converge vers $x_0$.pour tout $x_0\in \mathbb{R}$, la suite $(x_n{)}_{n⩾0}$ converge vers $x_0-\frac{3}{2}$.pour tout $x_0\in \mathbb{R}$, la suite $(x_n{)}_{n⩾0}$ est divergente.

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Examen–Q-16: L’intégrale généralisée ${\int }_1^{\infty }\frac{x^{3/2}+3}{x^3}dx$

divergeconverge et vaut $-\frac{7}{2}$converge et vaut $\frac{8}{3}$converge et vaut $\frac{7}{2}$

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Examen–Q-17: Soit $A=\left\{x\in {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }\setminus \{1\}:\frac{1}{\log (x)}<1\right\}$. Alors

$\inf A=\mathrm{e}$$A$ n’est pas minoré$\sup A=\mathrm{e}$$\inf A=0$

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Examen–Q-18: Soit $f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$ définie par $f(x)=\frac{1}{2}\left(x+\frac{2}{x}\right)$, et soit $(x_n{)}_{n⩾1}$ la suite définie par $x_{n+1}=f(x_n)$ pour tout $n\in \mathbb{N}$, et pour un $x_0\in {\mathbb{R}}^{\ast }$ fixé.

Si $x_0=1$, la suite converge vers $-\sqrt{2}$.Si $x_0=\frac{1}{\sqrt{2}}$, la suite converge vers $-\sqrt{2}$.Il n’existe aucun $x_0\in {\mathbb{R}}^{\ast }$ pour lequel la suite converge vers $-\sqrt{2}$.Si $x_0=-2$, la suite converge vers $-\sqrt{2}$.

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Examen–Q-19: Soit $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ la fonction définie par $$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2& \text{ si }x\in \mathbb{Q}\\ x& \text{ si }x\notin \mathbb{Q}\end{array}$$ Alors $f$ est continue en exactement deux points. $✓$ Vrai

Examen–Q-20: Une fonction strictement croissante $f:[0,1]\to [0,1]$ est toujours bijective. $\times$ Faux

Examen–Q-21: Le rayon de convergence de la série entière $f(x)=\sum _{k=0}^{+\infty }(3x{)}^k$ vaut $3$. $\times$ Faux

Examen–Q-22: Soit $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ une fonction monotone, et soit $x_0\in \mathbb{R}$ tel que $$\underset{x\to x_0-}{\lim }f(x)=f(x_0).$$ Alors $f$ est dérivable à gauche en $x_0$. $\times$ Faux

Examen–Q-23: Soit $(a_n{)}_{n⩾0}$ une suite de nombres réels positifs. Si $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n$ converge, alors $\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{a}_n$ converge. $✓$ Vrai

Examen–Q-24: Soit $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$. Si $f$ est dérivable en $x_0$, alors la fonction $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ définie par $g(x)=\sin (f(x))$ est également dérivable en $x_0$. $✓$ Vrai

Examen–Q-25: La suite ${\left(a_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par recurrence par $a_0=0$, $a_n=\frac{1}{5}\left(4a_{n-1}+1\right)$, $n\ge 1$, est de Cauchy. $✓$ Vrai

Examen–Q-26: Pour tout $\omega \in \mathbb{C}$, $\omega \ne 0$, il existe une infinité de nombres complexes $z\in \mathbb{C}$ tels que $\mathrm{Im}(\omega z)=0$. $✓$ Vrai

Examen–Q-27: Soit $f:\left[-1,1\right]\to \left[-1,1\right]$ une fonction bijective et continue, telle que $f(0)=0$. Alors ${\int }_{-1}^{1}f(x)dx=0$. $\times$ Faux

Examen–Q-28: Soit $f:\left]-1,1\right[\to \mathbb{R}$ une fonction de classe $C^3$ dont le développement limité d’ordre $2$ autour de $x_0=0$ est donné par $f(x)=1+2x+x^2+x^2{\epsilon }_1(x)$. Alors la fonction $(f(x){)}^2$ admet le développement limité $(f(x){)}^2=1+4x^2+x^2{\epsilon }_2(x)$ autour de $x_0=0$. $\times$ Faux

Examen–Q-29: (Question ouverte)

1. (2pt) Soit $I\subset \mathbb{R}$ un intervalle ouvert. Définir ce qu’est l’ensemble des fonctions continûment dérivables sur $I$, noté $C^1(I)$.
2. (4pts) Soit $f:\left]-1,1\right[\to \mathbb{R}$ définie par
   $$f(x)=\{\begin{array}{ll}\arctan (\frac{1}{x})& \text{ si }x\in \left]0,1\right[,\\ \frac{\pi }{2}-x& \text{ si }x\in \left]-1,0\right].\end{array}$$
   Montrez que $f\in C^1(\left]-1,1\right[)$.

Examen–Q-30: (Question ouverte)

1. (2pt) Calculer ${\int }_{-1}^0(x+1{)}^2{e}^{x}dx$.
2. (2pt) Calculer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }(x^2{)}^x$.

Examen–Q-31: (Question ouverte) Soit $\sum _{n⩾0}{a}_n$ une série absolument convergente.

1. (2pts) Montrez que $\underset{n\to \infty }{\lim }(a_{2n}+a_{2n+1}+\cdots +a_{3n-1}+a_{3n})=0$.
2. (4pts) En justifiant soigneusement votre raisonnement (en particulier, en énonçant précisément les résultats généraux dont vous pourriez avoir besoin), montrez que la série $\sum _{n⩾0}(-1{)}^n{a}_n{e}^{a_n}$ est aussi absolument convergente.