Examen–Q-1: L’intégrale impropre $I={\int }_{0^{+}}^{\frac{\pi }{6}}\frac{\cos (x)}{\sqrt{\sin (x)}}dx$

converge, et sa valeur est $I=\sqrt{2}$converge, et sa valeur est $I=\frac{1}{2}\log (\frac{1}{2})$diverge, car $\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }\log \left(\sqrt{\sin (\epsilon )}\right)=-\infty$diverge, car $\frac{\cos (x)}{\sqrt{\sin (x)}}$ n’est pas définie en $x=0$

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Examen–Q-2: Soit $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ la fonction définie par $f(x)=x|\cos (x)|$. Alors:

$f$ est continue sur $\mathbb{R}$, mais pas dérivable en $x=0$$f$ est dérivable en $x=0$, mais pas en $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$$f$ n’est pas deux fois dérivable en $x=0$$f$ est infiniment dérivable sur $\mathbb{R}$

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Examen–Q-3: Soit la fonction $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ définie par $f(x)={\mathrm{e}}^{\frac{x^4}{4}+\frac{x^2}{2}}$. Alors:

$f$ possède un seul point de minimum local dans $\mathbb{R}$$f$ possède un seul point de maximum local dans $\mathbb{R}$$f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$$f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$

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Examen–Q-4: Soit $\lambda =-\frac{1}{6}$. Déterminer, parmi les séries ci-dessous, celle qui converge.

$\sum _{n=1}^{\infty }(\frac{\lambda +1}{\lambda -1}{)}^n$$\sum _{n=1}^{\infty }(\frac{1}{1-{\lambda }^2}{)}^n$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n+1}}{{\lambda }^n}$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{1+\lambda }}$

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Examen–Q-5: Soit $(a_n{)}_{n\ge 0}$ la suite définie par $a_0=\frac{3}{2}$, et pour $n⩾0$, $a_{n+1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{8a_n-7}$. Alors:

$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=1$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=2$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=+\infty$la suite est divergente

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Examen–Q-6: Soit $m\in \mathbb{R}$, et soit $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ la fonction définie par $$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{{\sin }^2(x)}{\log (1+2x^2)}& \text{ si }x<0,\\ m& \text{ si }x=0,\\ \frac{x+1}{x^2+3x+1}& \text{ si }x>0.\end{array}$$

Si $m=\frac{1}{2}$, alors $f$ est continue à gauche mais pas à droite en $x=0$.Si $m=\frac{1}{3}$, $f$ est continue à droite mais pas à gauche en $x=0$.Si $m=1$, alors $f$ est continue en $x=0$.Si $m=\frac{1}{2}$, alors $f$ est continue en $x=0$.

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Examen–Q-7: Soit l’intégrale définie $I={\int }_2^3\frac{x^2-2x+1}{x^2+2x+1}dx$. Alors:

$I=\frac{4}{3}-4\log (\frac{4}{3})$$I=\frac{5}{3}-4\log (\frac{3}{2})$$I=\log (2)+\frac{1}{2}$$I=2\log (2)+1$

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Examen–Q-8: Soit $f:\left]-3,2\right[\to \mathbb{R}$ la fonction définie par $f(x)=x^2+4x-1$. Alors pour tous les $x\in \left]-3,2\right[$ et $y\in \left]-3,2\right[$, tels que $x\ne y$, on a:

$-1\le \frac{f(x)-f(y)}{x-y}⩽9$$-3\le \frac{f(x)-f(y)}{x-y}⩽7$$-2\le \frac{f(x)-f(y)}{x-y}⩽8$$-4\le \frac{f(x)-f(y)}{x-y}⩽6$

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Examen–Q-9: Soit $p\in \mathbb{R}$ et $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ la fonction définie par $$f(x)=\{\begin{array}{ll}|x{|}^p\log |x|& x\ne 0,\\ 0& x=0.\end{array}$$

Si $p=\frac{6}{5}$, alors $f$ est dérivable en $x=0$.Si $p=\frac{1}{2}$, alors $f$ n’est pas continue en $x=0$.Si $p=\frac{3}{2}$, alors $f$ n’est pas dérivable en $x=0$.Si $p=\frac{2}{3}$, alors $f$ est continue à droite en $x=0$, mais pas à gauche.

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Examen–Q-10: Soit $S$ l’ensemble des solutions de l’équation complexe ${\overline{z}}^2=z^2$. Alors:

$S=\{-1,+1,-\mathsf{i},+\mathsf{i}\}$$S=\{a+\mathrm{i}b\in \mathbb{C}:a=0\text{ ou }b=0\}$$S=\varnothing$$S=\mathbb{R}$

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Examen–Q-11: Soit $s$ un paramètre réel, et soit $(b_n{)}_{n⩾1}$ la suite définie par $b_n=\frac{1}{n^s}$ si $n$ est pair, $b_n=\frac{1}{n^{2s}}$ si $n$ est impair. Alors la série $\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n$ converge si et seulement si

$s>1$$s>\frac{1}{2}$$s>0$$s>2$

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Examen–Q-12: Le polynôme de Taylor d’ordre $4$ autour de $0$ de la fonction $f(x)=\frac{1}{1-\sin (x)}$ est

$1+x+2x^2+3x^3+4x^4$$1+x+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{2}{3}{x}^3+\frac{3}{4}{x}^4$$1+x+x^2+\frac{5}{6}{x}^3+\frac{2}{3}{x}^4$$1+x+x^2+x^3+x^4$

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Examen–Q-13: Soit $(x_n{)}_{n⩾1}$ la suite définie par $x_n=\sqrt[n]{7}$ si $n$ est pair et $x_n=\frac{1}{n^7}$ si $n$ est impair. Alors:

$\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}{x}_n=1$ et $\underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}{x}_n=0$$\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}{x}_n=0$ et $\underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}{x}_n=1$$\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}{x}_n=\underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}{x}_n=0$$\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}{x}_n=\underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}{x}_n=1$

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Examen–Q-14: Soit $f:\mathbb{R}\setminus \{-\frac{2}{3}\}\to \mathbb{R}$ la fonction définie par $f(x)=\frac{4}{2+3x}$. La série de Taylor de $f$ autour de $x=2$ est:

$f(x)=\frac{1}{2}\sum _{k=0}^{\infty }(-\frac{3}{8}{)}^k(x-2{)}^k$ pour $x\in ]-\frac{2}{3},\frac{14}{3}[$$f(x)=\frac{1}{2}\sum _{k=0}^{\infty }(\frac{3}{8}{)}^k(x+2{)}^k$ pour $x\in ]-\frac{14}{3},\frac{2}{3}[$$f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }(\frac{3}{8}{)}^k(x-2{)}^k$ pour $x\in ]-\frac{2}{3},\frac{14}{3}[$$f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }(-\frac{3}{8}{)}^k(x-2{)}^k$ pour $x\in ]1,3[$

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Examen–Q-15: Soit $(u_n{)}_{n⩾0}$ la suite définie par $u_0=0$ et, pour tout $n⩾0$, $u_{n+1}=\frac{1+2u_n}{2+u_n}$. Alors:

$0<u_n⩽1$ pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\star }$$\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=\frac{1}{2}$$(u_n{)}_{n⩾0}$ est décroissante$\frac{1}{2}<u_n⩽1$ pour tout $n\in \mathbb{N}$

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Examen–Q-16: Soit l’intégrale définie $I={\int }_1^3\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}dx$. Alors:

$I=2\left(\arctan \right(\sqrt{3})-\frac{\pi }{4})$$I=\frac{1}{2}(\arctan (3)-\frac{\pi }{4})$$I=2(\sqrt{3}-1)+\log (2)$$I=\sqrt{3}-1+\log (2)$

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Examen–Q-17:
Soit $A$ le sous-ensemble de $\mathbb{R}$ défini par $A=\{x>0:\cos (\frac{1}{x})>0\}$. Alors :

$\sup A=\frac{\pi }{2}$$\sup A=0$$\inf A=\frac{2}{\pi }$$\inf A=0$

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Examen–Q-18: Soit $(x_n{)}_{n⩾1}$ la suite définie par $x_n=\frac{2^{2n}}{(7n)!}$. Lorsque $n\to \infty$, cette suite

converge vers $0$divergeconverge vers $\frac{4}{7}$converge vers $\frac{\log (2)}{7}$

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Examen–Q-19: Soit $f:\left]-1,1\right[\to \mathbb{R}$ une fonction de classe $C^5$ dont le développement limité d’ordre $4$ en $x=0$ est donné par $$f(x)=1+x-x^2+x^3-x^4+x^4\epsilon (x),$$ où $\underset{x\to 0}{\lim }\epsilon (x)=0$. Alors $f^{\prime }(0)+3f^{(2)}(0)+f^{(3)}(0)=1$. $✓$ Vrai

Examen–Q-20: Soit $(x_n{)}_{n⩾0}$ la suite définie par $x_0=2$ et, pour $n⩾1$, $x_n=x_{n-1}-\frac{1}{n}$. Alors $(x_n{)}_{n⩾0}$ est convergente. $\times$ Faux

Examen–Q-21: La série entière $\sum _{k=100}^{\infty }\frac{x^k}{k!}$ converge pour tout $x\in \mathbb{R}$. $✓$ Vrai

Examen–Q-22: Soit $f:\left[-2,20\right]\to [0,1]$ une fonction continue. Alors il existe $x\in [0,1]$ tel que $f(x)=x$. $✓$ Vrai

Examen–Q-23: La série numérique $\sum _{n=1}^{\infty }\sin \left(\frac{1}{n^2}\right)$ converge. $✓$ Vrai

Examen–Q-24: Soit $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ une fonction de classe $C^1$, telle que l’équation $f^{\prime }(x)=0$ possède exactement une solution. Alors l’équation $f(x)=1$ possède au plus deux solutions réelles distinctes. $✓$ Vrai

Examen–Q-25: Soit $A\subset \mathbb{R}$ un ensemble borné, et $B=\{x\in \mathbb{R}:x\text{ est un majorant de }A\}$. Alors $\inf B\in B$. $✓$ Vrai

Examen–Q-26: Soit $z\ne 0$ un nombre complexe dont l’argument vaut $\frac{\pi }{4}$. Alors l’argument du nombre complexe $\frac{1}{z^2}$ vaut $-\frac{\pi }{2}$. $✓$ Vrai

Examen–Q-27: La fonction $g:[-1,1]\to \mathbb{R}$ définie par $g(x)={\int }_0^{|x|}1\text{d}t$ est dérivable en $x=0$. $\times$ Faux

Examen–Q-28: Soit $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ une fonction bijective. Alors $f$ est strictement monotone. $\times$ Faux

Examen–Q-29: (Question ouverte)
Soit $$f(x)=\frac{x^2+x-1}{x^2+2x-2}.$$

1. Montrer que $f(x)$ est bien définie en tout point $x\in [1,3]$.
2. Calculer les extrema globaux de $f$ sur l’intervalle $[1,3]$, en détaillant les étapes de votre raisonnement.

Examen–Q-30: (Question ouverte)
Soit $f:[0,2]\to \mathbb{R}$ une fonction continue sur $[0,2]$, dérivable sur $\left]0,2\right[$, telle que $f(0)=1$, et telle que $f^{\prime }(x)⩽-1$ pour tout $x\in \left]0,2\right[$. Montrer qu’il existe $x_{\ast }\in \left]0,2\right[$ tel que $f(x_{\ast })=0$.
(Attention: si on utilise des théorèmes vus au cours, on les énoncera, et on expliquera pourquoi ils s’appliquent dans ce cas.)

Examen–Q-31: (Question ouverte)

1. Soit $f$ une fonction réelle définie au voisinage d’un point $x_0\in \mathbb{R}$. Donner la définition rigoureuse de l’expression suivante:$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=L.$$
2. Soit $f(x)=5x+1$. Montrer, à l’aide de la définition donnée au point précédent, et en justifiant toutes les étapes de votre raisonnement, que$$\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=11.$$