4.4 Approche graphique — Analyse I / GM

La difficulté, dans l’étude d’une suite

x_{n + 1} = g (x_{n})

, est parfois de savoir par où commencer. Montrer que la suite est majorée/minorée? Si oui, avec quel majorant/minorant? Montrer que la suite est croissante/décroissante?

Nous allons voir maintenant que le graphe de

g

peut être une aide précieuse dans cette analyse, et peut donner des pistes.

Remarque 4.2.

L’approche graphique que nous allons présenter est utile car elle suggère des façons de commencer à étudier la suite, mais elle ne fournit en aucun cas une étude rigoureuse.

Supposons que le graphe de la fonction

g

est connu, et que la valeur de

x_{n}

a déjà été calculée. Montrons comment construire

x_{n + 1}

graphiquement à partir de

x_{n}

et du graphe de

g

Commencer en $(x_{n}, 0)$
Monter verticalement sur le graphe de $g$ , au point $(x_{n}, g (x_{n})) = (x_{n}, x_{n + 1})$
Glisser horizontalement jusque vers la diagonale $y = x$ , au point $(x_{n + 1}, x_{n + 1})$
Redescendre sur $(x_{n + 1}, 0)$

Bien-sûr, on peut sur le même dessin représenter

x_{n + 2}

à partir de

x_{n + 1}

, etc. Donc en partant de

x_{0}

, on a un moyen graphique de suivre la trajectoire

x_{0}, x_{1}, x_{2}, \dots

Exemple 4.8.

Reprenons le premier exemple considéré dans ce chapitre, associée à

g (x) = 1 + \frac{x}{2} .

Sur l’animation ci-dessous, observer le comportement de la suite en fonction de la condition initiale

x_{0}

On observe graphiquement tout ce que nous avions obtenu analytiquement. En particulier, on voit le point fixe

x_{*} = 2

, à l’intersection entre le graphe de

g

et la droite

y = x

. Puis, une fois la condition initiale

x_{0}

choisie,

$x_{n}$ est décroissante si $x_{0} > 2$
$x_{n}$ est croissante si $x_{0} < 2$
dans les deux cas, $x_{n}$ converge vers le point fixe

Exemple 4.9.

Considérons la suite traitée dans la section précédente, associée à

g (x) = 2 - \frac{1}{x},

avec la condition initiale

x_{0} = 4

On remarque que le graphe de

g

est tangent à la diagonale au point fixe, et comme n’importe quelle condition initiale au-dessus du point fixe mène toujours à la même limite, qui est atteinte en décroissant, comme vu précédemment. D’autres conditions initiales mènent à la même limite, mais sans que la suite soit forcément monotone.

Exemple 4.10.

Considérons la suite logistique de l’introduction,

x_{n + 1} = r x_{n} (1 - x_{n}) .

L’animation ci-dessous montre les grandes différences dans le comportement asymptotique de la suite, en fonction de la valeur du paramètre

r > 0

. (Pour ne pas rendre le dessin incompréhensible, on n’a représenté que les

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premiers termes de la suite.)