La série téléscopique $$\sum _{n⩾2}(\cos (\frac{1}{\sqrt{n}})-\cos (\frac{1}{\sqrt{n-1}}))$$ converge puisque $d_n=\cos (\frac{1}{\sqrt{n}})\to 1$, et sa somme vaut $$\sum _{n⩾2}(\cos (\frac{1}{\sqrt{n}})-\cos (\frac{1}{\sqrt{n-1}}))=1-\cos (1).$$

La série $$\sum _{n⩾1}\frac{1}{n(n+1)}$$ converge puisque $$0⩽a_n⩽\frac{1}{n^2}.$$ Or si on regarde de plus près, on peut la voir comme une série téléscopique, puisque $$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}.$$ (On verra plus tard comment faire ce genre de décomposition de façon plus systématique, appelée décomposition en éléments simples.) La $n$-ème somme partielle peut donc s’écrire $$\begin{array}{rl}{s}_n& =a_1+a_2+a_3+\cdots +a_{n-1}+a_n\\ & =(\frac{1}{1}-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\cdots +(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n})+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})\\ & =1-\frac{1}{n+1},\end{array}$$ où on a pu “téléscoper” les termes 2 à 2. On a donc que $$s=\sum _{n⩾1}\frac{1}{n(n+1)}=\underset{n\to \infty }{\lim }{s}_n=1.$$