11.2 Séries entières — Analyse I / GM

Indépendamment du problème énoncé ci-dessus, on peut étudier les séries (infinies) de puissances sans qu’elles soient nécessairement liées à une suite de développements limités:

Définition 11.1.

Une série de la forme

k ⩾ 0 \sum a_{k} (x - x_{0})^{k}

où

(a_{k})_{k ⩾ 0}

est une suite donnée,

x_{0} \in R

, est appelée série entière (ou série de puissances, en anglais: power series).

Une série entière est un type particulier de série, où

x

joue le rôle de paramètre; sa convergence/divergence dépend en général de

x

. Pour pouvoir utiliser cette série comme une fonction, on s’intéresse donc aux valeurs de

x

pour lesquelles elle converge:

D := {x \in R k = 0 \sum \infty a_{k} (x - x_{0})^{k} converge},

Remarque 11.1.

D

contient toujours au moins le point

x = x_{0}

On peut alors définir une fonction sur

D

, à l’aide de la somme de la série:

ψ : D x \to R \mapsto ψ (x) := k ⩾ 0 \sum a_{k} (x - x_{0})^{k} .

La fonction

ψ

est, par nature (c’est une fonction définie par une série!), difficile à étudier. Considérons d’abord un cas simple bien connu:

Exemple 11.1.

Considérons la série entière associée à la suite constante

a_{k} = 1

, au point

x_{0} = 0

ψ (x) = k ⩾ 0 \sum x^{k} = 1 + x + x^{2} + x^{3} + \dots

On reconnaît la série géométrique, qui comme on sait converge si et seulement si

x \in D =] - 1, 1 [

.
Ce qu’on peut dire, en plus, c’est que si

x \in] - 1, 1 [

, alors non seulement la série définit bien une fonction, mais on sait en plus que

ψ (x) = \frac{1}{1 - x} (!!!)

Donc on peut formuler ce résultat comme suit: lorsque

x \in] - 1, 1 [

, la série entière convergente

\sum_{k ⩾ 0} x^{k}

est en fait juste une représentation de la fonction

\frac{1}{1 - x}

11.2.1 Rayon et intervalle de convergence

L’ensemble des

x

pour lesquels une série entière converge a une structure assez simple:

Théorème 11.1.

Il existe un

0 ⩽ R ⩽ + \infty

tel que

k ⩾ 0 \sum a_{k} (x - x_{0})^{k} {converge si ∣ x - x_{0} ∣ < R, diverge si ∣ x - x_{0} ∣ > R .

On appelle

R

le rayon de convergence de la série.
De plus, dans le cas où on peut donner un sens à la limite

σ := n \to \infty lim n ∣ a_{n} ∣,

alors

R = ⎩ ⎨ ⎧ + \infty \frac{1}{σ} 0 si σ = 0, si 0 < σ < \infty, si σ = \infty .

Proof

Écrivons notre série entière sous la forme

\sum_{k ⩾ 0} b_{k} (x)

, où

b_{k} (x) := a_{k} (x - x_{0})^{k} .

Commençons par supposer que la limite suivante existe:

σ (x) := n \to \infty lim n ∣ b_{n} (x) ∣,

on sait, par le critère de Cauchy, que

k ⩾ 0 \sum b_{k} (x) {converge si diverge si σ (x) < 1, σ (x) > 1 .

Or si on regarde de plus près,

σ (x) = ∣ x - x_{0} ∣ n \to \infty lim n ∣ a_{n} ∣ = ∣ x - x_{0} ∣ σ,

ce qui implique que

k ⩾ 0 \sum b_{k} (x) {converge si diverge si ∣ x - x_{0} ∣ < \frac{1}{σ}, ∣ x - x_{0} ∣ > \frac{1}{σ} .

Donc en définissant

R

par

R := \frac{1}{σ}

, on obtient bien le résultat.

□

Remarque 11.2.

On peut vérifier que la limite $σ$ peut s’exprimer sous une autre forme, utile dans certaines situations: $σ = n \to \infty lim n ∣ a_{n} ∣ = n \to \infty lim \frac{a _{n + 1}}{a _{n}},$
La conclusion du théorème ci-dessus reste vraie si $σ$ est défini par $σ := n \to \infty lim sup n ∣ a_{n} ∣ .$

Le théorème ci-dessus garantit que l’ensemble

D

des

x \in R

pour lesquels une série entière converge est nécessairement un intervalle, appelé intervalle de convergence:

Si $R = 0$ , la série converge uniquement lorsque $x = x_{0}$ , et donc $D = {x_{0}}$ (un intervalle ne contenant que le point $x_{0}$ ).
Si $0 < R < \infty$ , alors $D$ est un intervalle, d’un des 4 types suivants: $] x_{0} - R, x_{0} + R [, [x_{0} - R, x_{0} + R [,] x_{0} - R, x_{0} + R], [x_{0} - R, x_{0} + R] .$
Si $R = \infty$ , elle converge pour tout $x \in R$ et donc $D = R$ .

Informel 11.1.Dans le cas où

0 < R < \infty

, on déterminera le type d’intervalle en étudiant la convergence de la série entière

\sum_{k} a_{k} (x - x_{0})^{k}

au bord de l’intervalle, c’est-à-dire en

x = x_{0} \pm R

Une fois que

D

est connu, la série entière permet donc de définir la fonction

ψ : D x \to R \mapsto ψ (x) := k ⩾ 0 \sum a_{k} (x - x_{0})^{k} .

Considérons pour commencer des exemples de séries entières centrées en

x_{0} = 0

k ⩾ 0 \sum a_{k} x^{k}

Par le théorème ci-dessus, on sait que l’intervalle de convergence est forcément de la forme

$D = {0}$ (lorsque $R = 0$ ),
$D = R$ (lorsque $R = \infty$ ).
$D =] - R, R [$ , $[- R, R [$ , $] - R, R]$ ou $[- R, R]$ (lorsque $0 < R < \infty$ ), et on déterminera précisément le cas en étudiant la série en $x = \pm R$ .

Exemple 11.2.

Considérons

k = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{k}}{2 ^{k}} x^{k} .

Dans ce cas,

σ = n \to \infty lim n ∣ \frac{( - 1 ) ^{n}}{2 ^{n}} ∣ = \frac{1}{2},

et donc

R = \frac{1}{σ} = 2

: la série converge pour tout

- 2 < x < 2

, et diverge si

x > 2

x < - 2

. Regardons maintenant ce qui se passe en

x = \pm 2

En $x = + 2$ la série est
$1 - 1 + 1 - 1 + 1 - \dots,$
et donc elle diverge.
En $x = - 2$ la série est
$1 + 1 + 1 + 1 + \dots,$
donc elle diverge aussi.

On conclut donc que l’intervalle de convergence est

D =] - 2, 2 [

Exemple 11.3.

Considérons

k = 0 \sum \infty k^{2} x^{k}

Ici,

σ = n \to \infty lim n n^{2} = n \to \infty lim e^{2 \frac{l o g ( n )}{n}} = e^{0} = 1,

donc

R = 1

. Comme la série diverge lorsque

x = \pm 1

, on a que

D =] - 1, 1 [

Exemple 11.4.

Considérons

k = 0 \sum \infty k^{k} x^{k}

Ici,

σ = n \to \infty lim n n^{n} = n \to \infty lim n = \infty,

donc

R = 0

. Donc la série converge si et seulement si

x = 0

D = {0}

Exemple 11.5.

Considérons

k = 1 \sum \infty \frac{1}{k} x^{k}

Utilisons la version “d’Alembert”:

σ = n \to \infty lim \frac{1/ ( n + 1 )}{1/ n} = 1,

donc

R = 1

. Regardons

x = \pm 1

En $x = + 1$ , la série est
$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots,$
qui est la série harmonique, qui diverge.
En $x = - 1$ , la série est
$- 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \dots,$
qui est (à un signe près) la série harmonique alternée, qui converge.

On conclut que l’intervalle de convergence est

D = [- 1, 1 [

Exemple 11.6.

Considérons

k = 0 \sum \infty \frac{1}{k !} x^{k}

On trouve

σ = n \to \infty lim \frac{n !}{( n + 1 )!} = 0,

et donc

R = \infty

: la série converge pour tout

x \in R

, donc son intervalle de convergence est

D = R

. (Cette série peut en fait être utilisée pour définir la fonction exponentielle.)

Quiz 11.2.1.Vrai ou faux?