11.3 Séries entières et représentation de fonctions

Revenons à notre problème initial, qui était de prendre la limite

n \to \infty

pour une fonction qui possède, pour tout

n

, un

D L (n)

Soit

I

un intervalle ouvert,

f

une fonction définie sur

I

, et

x_{0} \in I

un point fixé.

On sait, depuis la formule de Taylor, que si

f

est de classe

C^{n}

sur

I

, alors elle possède un

D L (n)

x_{0}

. Donc si on veut que

f

possède des développements limités de tous les ordres, on peut imposer qu’elle soit infiniment dérivable sur

I

Définition 11.2.

L’ensemble des fonctions infiniment dérivables sur $I$ est défini par

C^{\infty} (I) := {f : I \to R f \in C^{k} (I) \forall k ⩾ 1}

Exemple 11.7.

Les fonctions fondamentales, telles que polynômes, fonctions trigonométriques, exponentielles et logarithmes, sont toutes infiniment dérivables sur leur domaine de définition.

Donc si

f \in C^{\infty} (I)

, elle possède un développement limité à tous les ordres en

x_{0}

, dont les coefficients sont donnés par

a_{k} = \frac{f ^{(k)} ( x _{0} )}{k !}

f (x) f (x) f (x) ⋮ f (x) ⋮ = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + R_{1} (x) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + \frac{f ^{(2)} ( x _{0} )}{2 !} (x - x_{0})^{2} + R_{2} (x) . = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + \frac{f ^{(2)} ( x _{0} )}{2 !} (x - x_{0})^{2} + \frac{f ^{(3)} ( x _{0} )}{3 !} (x - x_{0})^{3} + R_{3} (x) . = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + \frac{f ^{(2)} ( x _{0} )}{2 !} (x - x_{0})^{2} + \frac{f ^{(3)} ( x _{0} )}{3 !} (x - x_{0})^{3} \dots + \frac{f ^{(n)} ( x _{0} )}{n !} (x - x_{0})^{n} + R_{n} (x) .

Nous allons maintenant décrire les contraintes à imposer pour garantir que dans la limite

n \to \infty

, les parties principales permettent de reconstruire entièrement

f (x)

.
On l’a déjà dit, dans la limite, les parties principales donnent naissance à une série entière:

n \to \infty lim k = 0 \sum n \frac{f ^{(k)} ( x _{0} )}{k !} (x - x_{0})^{k} = k = 0 \sum \infty \frac{f ^{(k)} ( x _{0} )}{k !} (x - x_{0})^{k},

Il sera donc essentiel de s’assurer que le $x$ qu’on considère appartient à l’intervalle de convergence de cette série.
Mais ça n’est pas encore suffisant: on voudra aussi que la limite des restes soit nulle, pour le

x

qu’on considère:

n \to \infty lim R_{n} (x) = 0

Le procédé peut donc être résumé de la façon suivante:

On calculera le rayon de convergence $R$ et l’intervalle de convergence de la série entière
$k = 0 \sum \infty \frac{f ^{(k)} ( x _{0} )}{k !} (x - x_{0})^{k},$
noté $I_{s}$ .
On déterminera tous les $x \in I$ pour lesquels $lim_{n \to \infty} R_{n} (x) = 0$ ; on notera $I_{r}$ l’ensemble de ces $x$ .

Informel 11.2.Rappelons qu’à

n

fixé,

R_{n} (x)

étant le reste du

D L (n)

f

autour de

x_{0}

x \to x_{0} lim R_{n} (x) = 0 .

Mais ici, ce que l’on fait est différent: on fixe un

x

proche de

x_{0}

, et on demande que

n \to \infty lim R_{n} (x) = 0 .

Si ces deux étapes peuvent être vérifiées rigoureusement, on aura montré que sur l’ensemble

I^{'} := I \cap I_{s} \cap I_{r} .

f

peut être représentée à l’aide de la série

f (x) = k = 0 \sum \infty \frac{f ^{(k)} ( x _{0} )}{k !} (x - x_{0})^{k} \forall x \in I^{'},

appelée série de Taylor (ou développement de Taylor). Lorsque

x_{0} = 0

, on l’appelle série de MacLaurin (ou développement de MacLaurin).

Définition 11.3.

Une fonction infiniment dérivable

f

, définie au voisinage du point

x_{0}

, possède un développement de Taylor (DT) en $x_{0}$ si elle peut être représentée par sa série de Taylor dans ce voisinage:

f (x) = k = 0 \sum \infty \frac{f ^{(k)} ( x _{0} )}{k !} (x - x_{0})^{k} .

Si la fonction peut effectivement être représentée par sa série de Taylor, cela signifie qu’elle peut être entièrement reconstruite, dans un voisinage de

x_{0}

, à l’aide de la connaissance de toutes ses dérivées en

x_{0}