5.1 Définitions et exemples

Une série, en analyse, est une somme infinie.
Dans ce chapitre, nous étudierons les séries numériques, qui ne sont rien d’autre que des sommes infinies dans lesquelles on somme tous les termes d’une suite donnée

(a_{n})_{n ⩾ n_{0}}

, à partir du premier:

a_{n_{0}} + a_{n_{1}} + a_{n_{2}} + a_{n_{3}} + \dots

Le symbole utilisé pour représenter un telle somme est

n = n_{0} \sum \infty a_{n}, ou n ⩾ n_{0} \sum a_{n},

ou encore, puisque l’indice est muet,

k = n_{0} \sum \infty a_{k}, ou k ⩾ n_{0} \sum a_{k},

que l’on lit “la somme de tous les

a_{k}

, pour

k

allant de

n_{0}

à l’infini”, et on dit que son terme général est

a_{k}

Il s’agit donc de définir rigoureusement ce que signifie “sommer une infinité de nombres”. Pour simplifier un peu l’exposition, on supposera souvent que

n_{0} = 0

1

. Nous fixons donc une suite

(a_{n})_{n ⩾ 0}

, et commençons à sommer un à un ses éléments, en commençant par le premier. Ceci mène à définir les sommes successives obtenues:

Définition 5.1.

Soit

(a_{n})_{n ⩾ 0}

une suite de réels. On définit la suite

(s_{n})_{n ⩾ 0}

ainsi:

s_{0} s_{1} s_{2} ⋮ s_{n} ⋮ := a_{0} := a_{0} + a_{1} := a_{0} + a_{1} + a_{2} := a_{0} + a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}

On appelle

(s_{n})_{n ⩾ 0}

la suite des sommes partielles associée à

(a_{n})_{n ⩾ 0}

s_{n}

est la $n$ -ème somme partielle.

Quelle que soit la suite

(a_{n})_{n ⩾ 0}

, la suite des sommes partielles associée

(s_{n})_{n ⩾ 0}

est toujours bien définie. On donne alors un sens à la somme infinie des

a_{n}

en considérant la limite de la suite des sommes partielles:

Définition 5.2.

Soit

(s_{n})_{n ⩾ 0}

la suite des sommes partielles associée à

(a_{n})_{n ⩾ 0}

. Si

(s_{n})_{n ⩾ 0}

converge, c’est-à-dire si la limite

s := n \to \infty lim s_{n}

existe et est finie, on dit que la série

n = 0 \sum \infty a_{n}

converge, et que sa somme vaut $s$ . On écrit:

n = 0 \sum \infty a_{n} = s .

Dans les autres cas, on dit que la série diverge.

Lorsque

n \to \infty lim s_{n} = \pm \infty

, on écrit

n = 0 \sum \infty a_{n} = \pm \infty .

Exemple 5.1.

(Suite constante) Soit

(a_{n})_{n ⩾ 0}

la suite définie par

a_{n} = c

pour tout

n ⩾ 0

, où

c \in R

est une constante. La

n

ème somme partielle est

s_{n} = a_{0} + a_{1} + \dots + a_{n} = n + 1 fois c + c + \dots + c = c (n + 1) .

Ainsi,

n \to \infty lim s_{n} = n \to \infty lim c (n + 1) = ⎩ ⎨ ⎧ + \infty 0 - \infty si c > 0, si c = 0, si c < 0,

ce qui implique que la série

\sum_{n ⩾ 0} a_{n}

converge si et seulement si

c = 0

, et dans ce cas

n ⩾ 0 \sum a_{n} = 0 .

Lorsque

c \neq = 0

, la série diverge et

n ⩾ 0 \sum a_{n} = {+ \infty - \infty si c > 0, si c < 0 .

Ce dernier exemple a montré, sans surprise, qu’une somme infinie de nombres strictement positifs, tous égaux, est infinie.

Exemple 5.2.

Soit

(a_{n})_{n ⩾ 0}

définie par

a_{n} = n

. La somme partielle

s_{n}

est donc

s_{n} = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + \dots + n .

On sait que cette somme vaut

s_{n} = \frac{n ( n + 1 )}{2},

ce qui implique que

s_{n} \to \infty

. Donc la série diverge:

1 + 2 + 3 + 4 + \dots = n = 1 \sum \infty n = + \infty,

Même si cela peut sembler contre-intuitif, il est possible de sommer une infinité de nombres non-nuls, et d’obtenir une somme totale finie; nous avions déjà rencontré ce phénomène dans l’étude de la série géométrique; celle-ci fournit notre premier exemple non-trivial de série convergente:

Exemple 5.3.

La série de terme général

a_{n} = r^{n}

, où

r \in R

est fixé, n’est autre que la série géométrique de raison

r

n = 0 \sum \infty a_{n} = 1 + r + r^{2} + r^{3} + \dots

r = 1

, la

n

ème somme partielle est

s_{n} = n + 1

, qui diverge bien-sûr. Si

r \neq = 1

, on peut calculer

s_{n} = 1 + r + r^{2} + r^{3} + \dots + r^{n} = \frac{1 - r ^{n + 1}}{1 - r},

et conclure:

n = 0 \sum \infty r^{n} = {converge diverge si ∣ r ∣ < 1, sinon.

De plus, dans le cas où

∣ r ∣ < 1

s_{n} \to \frac{1}{1 - r}

, et donc

n = 0 \sum \infty r^{n} = \frac{1}{1 - r} .

Par exemple,

Nous connaissons un autre cas de série convergente (de termes non-nuls), plus compliqué:

Exemple 5.4.

Nous avons vu que la série de terme général

a_{n} = \frac{1}{n ^{2}}

k ⩾ 1 \sum \frac{1}{k ^{2}} = 1 + \frac{1}{2 ^{2}} + \frac{1}{3 ^{2}} + \dots converge .

En effet, nous avions montré que les sommes partielles

s_{n} = 1 + \frac{1}{2 ^{2}} + \frac{1}{3 ^{2}} + \dots + \frac{1}{n ^{2}}

forment une suite croissante et majorée, donc convergente.

5.1.1 Divergence de la série harmonique

Au vu du premier exemple de la section précédente, on peut facilement construire des exemples de séries divergentes, comme par exemple

1 + 1 + 1 + 1 + \dots = + \infty

Considérons maintenant un exemple plus intéressant, et bien plus important, celui de la série harmonique.

Théorème 5.1.

La série harmonique, de terme général

a_{n} = \frac{1}{n}

, est divergente:

n = 1 \sum \infty \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \dots = + \infty .

En d’autres termes, si l’on fait un pas de longueur

1

, puis un pas de longueur

\frac{1}{2}

, puis un pas de longueur

\frac{1}{3}

, et ainsi de suite (toujours vers la droite), alors on part à l’infini.

Proof

Remarquons que la suite des sommes partielles associée à la suite

a_{n} = \frac{1}{n}

est strictement croissante:

s_{n + 1} > s_{n}

. Pour montrer que

s_{n} \to \infty

, il suffit donc de trouver une sous-suite

(s_{n_{k}})_{k}

telle que

s_{n_{k}} \to \infty

.
Considérons les indices qui sont des puissances de

2

: Plus généralement, on peut montrer que pour tout entier

k ⩾ 1

s_{2^{k}} ⩾ \frac{k}{2} .

Comme

\frac{k}{2} \to \infty

lorsque

k \to \infty

, on conclut que

s_{2^{k}} \to \infty

.
Une autre preuve (très semblable) de la divergence de la série harmonique: A stylish proof that... (Michael Penn)

□

Nous venons de montrer que la suite partielle associée à la série harmonique,

s_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{n},

tend vers l’infini: Cela signifie que quel que soit le seuil

M > 0

que l’on fixe, aussi grand soit-il, il existe toujours un indice

N

tel que

s_{n} ⩾ M

pour tout

n ⩾ N

Informel 5.1.La suite des sommes partielles de la série harmonique tend vers l’infini, mais très lentement... Par exemple, si dans l’animation ci-dessus on fixait

M = 50

, il faudrait que

n

soit au moins

\cdot 1 0^{21}

pour voir qu’effectivement

s_{n} ⩾ 50

...
On pourra également lire les commentaires se trouvant ici.

5.1.2 Sur l’importance de la définition de convergence pour une série

Exemple 5.5.

Considérons

a_{n} = (- 1)^{n}

n ⩾ 0

. Les sommes partielles sont alors

s_{0} s_{1} s_{2} s_{3} = (- 1)^{0} = 1 = (- 1)^{0} + (- 1)^{1} = 1 - 1 = 0 = (- 1)^{0} + (- 1)^{1} + (- 1)^{2} = 1 - 1 + 1 = 1 = (- 1)^{0} + (- 1)^{1} + (- 1)^{2} + (- 1)^{3} = 1 - 1 + 1 - 1 = 0 ⋮

Ainsi,

s_{n} = {01 si n est impair, si n est pair.

Donc

s_{n}

, ce qui signifie que la série

n ⩾ 0 \sum (- 1)^{n} = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 \dots

est divergente.

Informel 5.2.On serait peut-être tenté de calculer la somme infinie du dernier exemple,

s = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 \dots

à l’aide d’opérations algébriques injustifiées.
Par exemple, on pourrait réorganiser les termes de la série par paquets de deux:

s = = 0 (1 - 1) + = 0 (1 - 1) + \dots = 0 .

Mais une autre façon de réarranger donnerait

s = 1 + = 0 (- 1 + 1) + = 0 (- 1 + 1) + \dots = 1

Ou alors, en multipliant la somme par

2

2 s = s + s = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - \dots = 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + \dots = 1,

et donc

s = \frac{1}{2}

... (Voir aussi ici pour une autre façon de formuler la même absurdité.)

Les manipulations formelles faites sur cet exemple (insérer des parenthèses, sommer terme à terme) sont interdites, parce qu’elles s’effectuent sur une série divergente. Ceci montre que l’on ne peut pas manipuler une série comme on manipule une somme contenant un nombre fini de termes, et souligne l’importance de la définition de convergence que nous avons adoptée pour une série (via les sommes partielles).
Dans la section suivante on montrera, entre autres, que pour les séries convergentes, les manipulations usuelles sur les sommes finies sont autorisées.

Quiz 5.1.1.Soit

\sum_{n ⩾ 0} a_{n}

une série numérique, et

(s_{n})_{n ⩾ 0}

la suite de ses sommes partielles. Vrai ou faux?

Quiz 5.1.2.Soit

(a_{n})_{n ⩾ 0}

une suite de réels, telle que

a_{n} ⩾ 0

pour tout

n ⩾ 0

, et soit

(s_{n})_{n ⩾ 0}

la suite de ses sommes partielles. Vrai ou faux?