5.7 Le critère de la limite du quotient

Théorème 5.5.

Soient

(a_{n})

(b_{n})

deux suites. Supposons que

a_{n} > 0

b_{n} > 0

pour tout

n

suffisamment grand, et que

α := n \to \infty lim \frac{a _{n}}{b _{n}} existe .

α > 0

, alors soit

\sum_{n} a_{n}

\sum_{n} b_{n}

convergent toutes les deux, soit elles divergent toutes les deux.

Proof

Si le quotient

\frac{a _{n}}{b _{n}}

tend vers

α > 0

, cela signifie qu’il est loin de zéro pour tous les indices

n

suffisamment grands. Plus précisément, prenons

ε := α /2

. Alors il existe

N

tel que

∣ \frac{a _{n}}{b _{n}} - α ∣ ⩽ ε

pour tout

n ⩾ N

, c’est-à-dire que

0 < \frac{α}{2} = α - ε ⩽ \frac{a _{n}}{b _{n}} ⩽ α + ε = \frac{3 α}{2} \forall n ⩾ N

qui donne

0 < \frac{α}{2} b_{n} ⩽ a_{n} ⩽ \frac{3 α}{2} b_{n} \forall n ⩾ N

Le critère de comparaison implique que si

\sum_{n} a_{n}

converge,

\sum_{n} b_{n}

converge aussi, et si

\sum_{n} a_{n}

diverge alors

\sum_{n} b_{n}

diverge aussi, et vice versa.

□

Le théorème ci-dessus est très utile lorsqu’on a un terme général dans lequel on peut identifier un terme qui doit dominer, mais pour lequel aucune comparaison simple ne se présente.

Exemple 5.17.

Considérons

n ⩾ 3 \sum \frac{1}{n ^{3} - 5 n - 1} .

La présence du “

n^{3}

”, qui est le terme dominant dans le dénominateur du terme général

a_{n} = \frac{1}{n ^{3} - 5 n - 1}

, suggère de considérer

b_{n} = \frac{1}{n ^{3}}

. En effet,

a_{n}

b_{n}

sont tous deux positifs pour

n

suffisamment grand, et

α = n \to \infty lim \frac{a _{n}}{b _{n}} = n \to \infty lim \frac{n ^{3}}{n ^{3} - 5 n - 1} = 1 > 0 .

Par le théorème, la série

\sum_{n} a_{n}

converge. Remarquons pourtant que

a_{n} > b_{n}

pour tout

n ⩾ 2

Exemple 5.18.

Considérons la série

n ⩾ 1 \sum sin (\frac{3}{n ^{2} + 1}) .

Remarquons que

a_{n} = sin (\frac{3}{n ^{2} + 1}) > 0

pour tout

n

suffisamment grand. Si on se souvient du résultat qui dit que si

x_{n} \to 0

, alors

\frac{s i n ( x _{n} )}{x _{n}} \to 1

, cela suggère de poser

b_{n} = \frac{3}{n ^{2} + 1}

; on a alors que

α = n \to \infty lim \frac{a _{n}}{b _{n}} = n \to \infty lim \frac{sin ( \frac{3}{n ^{2} + 1} )}{\frac{3}{n ^{2} + 1}} = 1 > 0 .

Puisque

\sum_{n} b_{n} = 3 \sum_{n} \frac{1}{n ^{2} + 1}

converge (son terme général étant

⩽ \frac{3}{n ^{2}}

), on conclut que

\sum_{n} a_{n}

converge aussi.