5.9 Le critère de d'Alembert

Théorème 5.7 (Critère de d’Alembert pour les séries).

Soit

(a_{n})

une suite pour laquelle la limite

ρ := n \to \infty lim \frac{a _{n + 1}}{a _{n}}

existe, ou est

+ \infty

Proof

La preuve commence de la même façon que celle pour le critère de l’Alembert pour les suites:
1) Si

ρ < 1

, on sait qu’il existe

ε > 0

et un entier

N

tel que

\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} ⩽ 1 - ε \forall n ⩾ N .

On a donc, pour tout

n > N

∣ a_{n} ∣ ⩽ (1 - ε) ∣ a_{n - 1} ∣ ⩽ (1 - ε)^{2} ∣ a_{n - 2} ∣ ⩽ \dots ⩽ (1 - ε)^{n - N} ∣ a_{N} ∣ =: c_{n} .

Mais comme

c_{n}

est, à une constante près, le terme général d’une série géométrique (de raison

r = 1 - ε < 1

), la série

\sum_{n = N + 1}^{\infty} c_{n}

converge. Par le critère de comparaison,

\sum_{n = N + 1}^{\infty} ∣ a_{n} ∣

converge aussi, et donc

\sum_{n} a_{n}

converge absolument.
2) On a déjà vu (Critère de d’Alembert pour les suites) que

ρ > 1

implique que

∣ a_{n} ∣ \to \infty

, et donc

a_{n}

ne tend pas vers zéro, ce qui implique que

\sum_{n} a_{n}

diverge.

□

Exemple 5.22.

Considérons

k ⩾ 1 \sum \frac{( - 9 ) ^{k}}{k !} .

Comme une comparaison avec une série plus simple n’est pas immédiatement facile, on peut calculer

ρ = k \to \infty lim \frac{a _{k + 1}}{a _{k}} = k \to \infty lim \frac{\frac{( - 9 ) ^{k + 1}}{( k + 1 )!}}{\frac{( - 9 ) ^{k}}{k !}} = k \to \infty lim \frac{9}{k + 1} = 0 .

Par le théorème, la série est absolument convergente, et donc convergente.

Exemple 5.23.

Considérons la série

n ⩾ 1 \sum \frac{( n ! ) ^{3}}{( 2 n )!}

On a

ρ = n \to \infty lim \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = n \to \infty lim \frac{\frac{( n + 1 ) ! ^{3}}{( 2 ( n + 1 ))!}}{\frac{( n ! ) ^{3}}{( 2 n )!}} = n \to \infty lim \frac{( n + 1 ) ! ^{3}}{n ! ^{3}} \frac{( 2 n )!}{( 2 ( n + 1 ))!} = n \to \infty lim \frac{( n + 1 ) ^{3}}{( 2 n + 2 ) ( 2 n + 1 )} = + \infty .

Donc la série est divergente. De plus, puisque tous ses termes sont positifs, on peut écrire

n ⩾ 1 \sum \frac{( n ! ) ^{3}}{( 2 n )!} = + \infty

Le théorème ci-dessus ne dit rien sur ce qui se passe lorsque

ρ = 1

, ce qui fait qu’il y a beaucoup de cas où il est inefficace pour étudier une série. Par exemple, on connaît bien les séries du type

\sum_{n} \frac{1}{n ^{p}}

, et pourtant, pour tout

p > 0

ρ = n \to \infty lim \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = n \to \infty lim \frac{1/ ( n + 1 ) ^{p}}{1/ n ^{p}} = n \to \infty lim \frac{n ^{p}}{( n + 1 ) ^{p}} = n \to \infty lim \frac{1}{( 1 + \frac{1}{n} ) ^{p}} = 1,

donc le critère ne permet de traiter aucune valeur de

p

Donc lorsque

ρ = 1

, une autre méthode doit être employée pour étudier la convergence/divergence de la série.

Quiz 5.9.1.Vrai ou faux?

Analyse I / GM