Supposons pour commencer que $0⩽a_n⩽b_n$pour tout$n⩾1$ (au lieu de juste “pour tout $n$ suffisamment grand”). Définissons les sommes partielles: $$s_n:=\sum _{k=1}^n{a}_k,s_n^{\prime }:=\sum _{k=1}^n{b}_k.$$ Par définition, ${\sum }_{n⩾1}{a}_n$ converge si et seulement si $s_n$ est convergente, et ${\sum }_{n⩾1}{b}_n$ converge si et seulement si $s_n^{\prime }$ est convergente.
Puisque $0⩽a_n⩽b_n$ pour tout $n$, on a aussi que $$0⩽s_n⩽s_n^{\prime }\forall n⩾1.$$ De plus, comme tous les termes que leurs sommes contiennent sont positifs, $s_n$ et $s_n^{\prime }$ sont des suites croissantes. En effet, on peut écrire, pour tout $n⩾1$, $$\begin{array}{rl}{s}_{n+1}-s_n& =(a_1+\cdots +a_n+a_{n+1})-(a_1+\cdots +a_n)\\ & =a_{n+1}⩾0,\end{array}$$ et donc $s_{n+1}⩾s_n$. (Pareil avec $s_n^{\prime }$.)

1. Si ${\sum }_{n⩾1}{b}_n$ converge, alors il existe $s^{\prime }\in \mathbb{R}$ tel que $s_n^{\prime }\to s^{\prime }$. Comme $s_n^{\prime }$ est croissante, on a $s_n^{\prime }⩽s^{\prime }$, et donc aussi $s_n⩽s^{\prime }$. Donc $s_n$ est croissante et majorée, donc aussi convergente, ce qui signifie que ${\sum }_{n⩾1}{a}_n$ converge.
2. Si ${\sum }_{n⩾1}{a}_n=+\infty$, c’est que $s_n\to \infty$, et donc comme $s_n^{\prime }⩾s_n$ pour tout $n⩾1$, on a aussi que $s_n^{\prime }\to \infty$, c’est-à-dire ${\sum }_{n⩾1}{b}_n=+\infty$.

Maintenant, si on a $0⩽a_n⩽b_n$ seulement à partir d’un certain $n_0$, on peut adapter l’argument sans difficulté, en redéfinissant $$s_n:=\sum _{k=n_0}^n{a}_k,s_n^{\prime }:=\sum _{k=n_0}^n{b}_k.$$