Intuitivement, même si les rationnels sont un sous-ensemble (strict) des réels, ils doivent quand-même être un peu “partout” sur la droite des réels, dans le sens où on doit pouvoir en trouver dans n’importe quelle région de la droite, aussi petite soit-elle. On caractérise ceci précisément à l’aide de la notion de densité.

Il est clair que $\mathbb{R}$ est dense dans lui-même, puisque pour toute paire $x,y\in \mathbb{R}$, $x<y$, on peut toujours considérer le point milieu $z:=\frac{x+y}{2}$. Donc entre deux réels quelconques distincts, il y a toujours un autre réel.
Ce qui est plus intéressant, ce sont les ensembles denses dans $\mathbb{R}$ qui sont des sous-ensembles stricts de $\mathbb{R}$, c’est-à-dire qui sont plus petits que $\mathbb{R}$.

Dans la preuve de ce théorème, nous utiliserons la notion suivante.

La définition de $\lfloor x\rfloor$ implique $$\lfloor x\rfloor ⩽x<\lfloor x\rfloor +1\forall x\in \mathbb{R}.$$ Donc l’image qu’il faut garder en tête est la suivante:

Cette dernière peut aussi s’écrire $$x-1<\lfloor x\rfloor ⩽x\forall x\in \mathbb{R}.$$ Passons à la preuve du théorème.

On utilisera souvent les deux résultats ci-dessus, de la façon suivante: Si $x\in \mathbb{R}$ est un réel quelconque, alors quel que soit $\epsilon >0$ (sous-entendu: aussi petit que l’on veut), il existe toujours un rationnel $r_{\ast }\in \mathbb{Q}$ et un irrationnel $i_{\ast }\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ tels que $$r_{\ast }\in \left]x-\epsilon ,x+\epsilon \right[,i_{\ast }\in \left]x-\epsilon ,x+\epsilon \right[.$$