12.5 Théorème Fondamental de l'Analyse

Maintenant que l’on a défini l’intégrale et que l’on a étudié ses principales propriétés, revenons au problème plus appliqué, qui est celui de savoir comment calculer

\int_{a}^{b} f (x) d x

12.5.1 Une fonction auxiliaire

Dans cette section, nous supposerons en général que

f : [a, b] \to R

est continue.

Définition 12.6.

On appelle fonction aire (associée à $f$ ) la fonction

A : [a, b] \to R

définie par

A (x) := \int_{a}^{x} f (t) d t .

Remarque 12.4.

On a pris soin de nommer la variable d’intégration différemment (on a choisi “

t

”, mais on aurait pu prendre n’importe quelle lettre différente de

x

), pour montrer que la dépendance de

A (x)

x

est dans la borne supérieure de l’intégrale.

Comme son nom l’indique,

A (x)

peut être interprétée, lorsque

f

est positive, comme l’aire sous le graphe de

f

, entre les droites verticales d’abscisses

a

x

respectivement. Cette aire dépend bien sûr du choix de

x

Par définition, on a

A (a) = 0

, et notre but est de calculer

A (b)

Exemple 12.8.

f (x) = m x + h

, est positive sur

[a, b]

, alors

A (x)

est une aire de trapèze:

On peut donc calculer explicitement:

A (x) = (x - a) \times \frac{f ( a ) + f ( x )}{2} = \frac{1}{2} m (x^{2} - a^{2}) + h (x - a) .

Remarque:

A (x)

est dérivable sur

] a, b [

, et

A^{'} (x) = (\frac{1}{2} m (x^{2} - a^{2}) + h (x - a))^{'} = m x + h = f (x) (!)

Cette propriété surprenante que l’on vient d’observer, à savoir que la dérivée de la fonction aire est égale à la fonction, est en fait toujours vraie...

12.5.2 Première partie

Théorème 12.4.

(Théorème Fondamental, première partie) Pour toute fonction

f : [a, b] \to R

continue,

x \mapsto A (x)

est dérivable sur

] a, b [

, et sa dérivée vaut

f

A^{'} (x) = f (x) \forall x \in] a, b [.

Proof

Fixons

x \in] a, b [

, et montrons que

h \to 0^{+} lim \frac{A ( x + h ) - A ( x )}{h} = f (x) .

D’abord, puisque

a < x < x + h

, la relation de Chasles entraîne

A (x + h) = A (x) + \int_{x}^{x + h} f (t) d t,

qui permet d’écrire

\frac{A ( x + h ) - A ( x )}{h} = \frac{1}{h} \int_{x}^{x + h} f (t) d t .

Maintenant, le Théorème de la Moyenne, appliqué à l’intégrale du membre de droite de cette dernière égalité, garantit l’existence d’un

c_{h} \in] x, x + h [

tel que

\frac{1}{h} \int_{x}^{x + h} f (t) d t = f (c_{h}) .

Or lorsque

h \to 0^{+}

, on a

c_{h} \to x^{+}

, et comme

f

est continue en

x

cela donne

h \to 0^{+} lim \frac{A ( x + h ) - A ( x )}{h} = h \to 0^{+} lim f (c_{h}) = c \to x^{+} lim f (c) = f (x) .

On procède de même avec la limite

h \to 0^{-}

, pour montrer que

h \to 0^{-} lim \frac{A ( x + h ) - A ( x )}{h} = f (x) .

Ceci montre donc que

A^{'} (x)

existe et vaut

f (x)

□

Les fonctions qui, comme

A

, sont dérivables, et dont la dérivée vaut

f

, portent un nom:

Définition 12.7.

Soit

f

une fonction définie sur un intervalle ouvert. Une fonction

F

dérivable sur cet intervalle et telle que

F^{'} = f

est appelée une primitive de

f

Informel 12.3.En anglais, on utilise le terme “antiderivative”, plus approprié puisqu’il exprime parfaitement la propriété qui définit

F

Exemple 12.9.

Par exemple,

F (x) = x - \frac{x ^{3}}{3}

est une primitive de

f (x) = 1 - x^{2}

, puisque

F^{'} (x) = (x - \frac{x ^{3}}{3})^{'} = 1 - x^{2} = f (x) \forall x .

Remarquons que

G (x) = x - \frac{x ^{3}}{3} + \frac{π ^{2}}{6}

est aussi une primitive de

f (x)

, puisque la constante

\frac{π ^{2}}{6}

a une dérivée nulle, et donc

G^{'} (x) = f (x)

On le voit dans ce dernier exemple: lorsqu’une fonction possède une primitive, elle en possède une infinité, puisqu’on peut toujours ajouter une constante arbitraire qui ne contribue pas à la dérivée.
Le lemme suivant a déjà été démontré précédemment (conséquence du Théorème des accroissements finis, ici).

Lemme 12.2.

Soit

I

un intervalle ouvert, et soient

F, G : I \to R

deux primitives de

f

, alors il existe une constante

C

telle que

F (x) = G (x) + C \forall x \in I .

Avant de poursuivre, une conséquence de ce qui précède:

Lemme 12.3.

f : [a, b] \to R

est continue, alors

A : [a, b] \to R

est continue.

Proof

La continuité en les points

x_{0} \in] a, b [

suit de la dérivabilité démontrée plus haut. Il reste donc à vérifier la continuité sur le bord. Pour démontrer la continuité à droite en

a

, on peut profiter du fait que

f

est bornée (puisqu’elle est continue): il existe une constante

C

telle que

∣ f (t) ∣ ⩽ C

pour tout

t \in [a, b]

. Par conséquent,

∣ A (x) ∣ = \int_{a}^{x} f (t) d t ⩽ \int_{a}^{x} ∣ f (t) ∣ d t ⩽ C \int_{a}^{x} d t = C ∣ x - a ∣,

qui implique

x \to a^{+} lim A (x) = 0 = A (a) .

On montre de même que

lim_{x \to b^{-}} A (x) = A (b)

□

12.5.3 Deuxième partie

Théorème 12.5.

(Théorème Fondamental, deuxième partie) Soit

f : [a, b] \to R

continue, et soit

F : [a, b] \to R

une primitive de

f

sur

] a, b [

, continue sur

[a, b]

. Alors

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a) .

Parfois, on utilisera aussi la notation

F (x)_{a}^{b} := F (b) - F (a) .

Exemple 12.10.

On a déjà vu une primitive de

f (x) = 1 - x^{2}

F (x) = x - \frac{x ^{3}}{3}

. On peut donc recalculer l’aire sous la parabole d’Archimède:

\int_{- 1}^{1} (1 - x^{2}) d x = F (1) - F (- 1) = (1 - \frac{1 ^{3}}{3}) - ((- 1) - \frac{( - 1 ) ^{3}}{3}) = \frac{4}{3} .

Le Théorème Fondamental a montré que le calcul d’une intégrale peut, en principe, se réduire à un calcul de primitive. Or la recherche d’une primitive peut souvent représenter un travail considérable, même pour des fonctions simples.
Nous allons donc, après avoir dit quelques généralités, passer un certain temps à décrire quelques-unes de méthodes classiques de calcul de primitives, appelées aussi méthodes d’intégration.

Quiz 12.5.2.Soit

f : [a, b] \to R

une fonction intégrable, et

I = \int_{a}^{b} f (t) d t

. Vrai ou faux?

Analyse I / GM

12.5 Théorème Fondamental de l’Analyse

12.5.1 Une fonction auxiliaire

12.5.2 Première partie

12.5.3 Deuxième partie