12.4 Le Théorème de la Moyenne

12.4.1 La moyenne d’une fonction?

En arithmétique, on définit la moyenne d’une famille de nombres

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{N}

par

\overset{x}{ˉ} := \frac{1}{N} (x_{1} + x_{2} + \dots + x_{N})

Si on veut calculer la valeur moyenne d’une fonction

f : [a, b] \to R

, on ne peut pas simplement sommer ses valeurs , et on a naturellement recours à l’intégrale:

Définition 12.5.

f : [a, b] \to R

est intégrable, on définit sa valeur moyenne sur $[a, b]$ par

\overset{ˉ}{f} := \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x .

\overset{ˉ}{f}

est l’analogue continu de la moyenne discrète

\overset{x}{ˉ}

. En effet,

à la somme des $x_{k}$ , $k \in {1, \dots, N}$ correspond l’intégrale des $f (x)$ , $x \in [a, b]$ , et
à la division par la taille de l’échantillon, $\frac{1}{N}$ , correspond la division par la longueur de l’intervalle $\frac{1}{b - a}$ .

Lorsque

f (x) ⩾ 0

, on peut interpréter le nombre

\overset{ˉ}{f}

géométriquement: c’est l’unique nombre tel que le rectangle de base

[a, b]

et de hauteur

\overset{ˉ}{f}

ait même aire que la région sous la courbe.

Informel 12.2.Supposons que la région sous le graphe de

f

est une forme faite de glace, contenue dans un récipient de base

[a, b]

; la quantité de glace présente dans cette forme est égale à

\int_{a}^{b} f (x) d x .

Si on laisse la glace fondre, après un certain temps, toute la glace s’est transformée en eau, dont le niveau dans le récipient est à une certaine hauteur

\overset{ˉ}{f}

. Puisque la quantité d’eau est (en première approximation) égale à la quantité de glace initiale, on doit avoir

(b - a) \overset{ˉ}{f} = \int_{a}^{b} f (x) d x .

Le niveau d’eau coïncide donc avec la valeur moyenne de

f

Théorème 12.3.

(Théorème de la moyenne) Si

f : [a, b] \to R

est continue, alors il existe

c \in] a, b [

tel que

f (c) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x .

Exemple 12.7.

Considérons encore la parabole d’Archimède, qui est le graphe de la fonction continue

f (x) = 1 - x^{2}

x \in [- 1, 1]

. Sa valeur moyenne est donnée par

\overset{ˉ}{f} = \frac{1}{1 - ( - 1 )} \int_{- 1}^{1} (1 - x^{2}) d x = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{2}{3}

On voit qu’il existe deux nombres,

\overline{c} = \pm \frac{1}{3} \in] - 1, 1 [

, tels que

f (c) = \overline{f}

Remarque 12.3.

Remarquons que si

f

n’est pas continue, alors le résultat n’est pas toujours vrai:

Cette fonction est manifestement continue par morceaux, donc intégrable, et sa valeur moyenne

\overset{ˉ}{f}

est bien définie. Par contre, il n’existe aucun

c \in] a, b [

tel que

f (c) = \overset{ˉ}{f}