12.6 Primitives élémentaires

Le Théorème Fondamental garantit que si une fonction

f (x)

est continue sur un intervalle, alors elle possède toujours au moins une primitive, donnée par la fonction aire calculée entre un point

a

(quelconque dans

I

) et

x

A (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t .

Nous savons aussi que si une fonction possède une primitive

F

alors elle en possède une infinité, puisque l’on peut toujours ajouter une constante arbitraire à

F

Remarque 12.5.

Même si toute fonction continue possède une primitive, cela ne veut pas dire qu’on peut la calculer explicitement. Par exemple, la fonction

f (x) = e^{- x^{2} /2}

étant continue, elle possède une primitive. Mais on ne peut pas l’exprimer de façon simple. Plus précisément, il n’est pas possible d’écrire sa primitive à l’aide d’une combinaison linéaire finie de produits ou compositions de fonctions élémentaires. . Voir la remarque à 4min50 ici (3Blue1Brown).

Définition 12.8.

Soit

f

une fonction continue. On appelle intégrale indéfinie de $f$ la famille de toutes ses primitives. On la notera:

\int f (x) d x ou F (x) + C,

Commençons par lister l’intégrale indéfinie des principales fonctions élémentaires:

12.6.1 Propriétés de l’intégrale indéfinie

Énonçons quelques-unes des propriétés élémentaires de l’intégrale indéfinie (on suppose partout que les fonctions intégrées sont continûment dérivables).

$\int k f (x) d x = k \int f (x) d x$
$\int (f (x) + g (x)) d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x$
$\int f^{'} (g (x)) g^{'} (x) d x = f (g (x)) + C$
$\int \frac{g ^{'} ( x )}{g ( x )} d x = lo g ∣ g (x) ∣ + C$ (en supposant que $g (x) \neq = 0$ sur l’intervalle considéré)

Beaucoup de primitives peuvent se calculer très simplement si elles concernent une fonction dans laquelle on peut observer une structure qui permet d’utiliser directement une des relations ci-dessus. Parfois, une petite manipulation peut être nécessaire avant l’intégration.

Exemple 12.11.

Considérons l’intégrale indéfinie

\int x e^{- x^{2} /2} d x .

On observe qu’en posant

g (x) = - \frac{x ^{2}}{2}

, on a

g^{'} (x) = - x

. Donc, en insérant

1 = (- 1) \cdot (- 1)

, on fait apparaître

g^{'} (x)

, et on utilise

\int f^{'} (g (x)) g^{'} (x) d x = f (g (x)) + C

\int x e^{- x^{2} /2} d x = - \int (- x) e^{- x^{2} /2} d x = - \int e^{g (x)} g^{'} (x) d x = - e^{g (x)} + C = - e^{- x^{2} /2} + C

Dans la suite, on fera souvent ce genre d’opérations, sans forcément expliciter tous les détails.

Exemple 12.12.

Considérons l’intégrale indéfinie

\int \frac{1 + x}{1 + x ^{2}} d x = \int \frac{1}{1 + x ^{2}} d x + \int \frac{x}{1 + x ^{2}} d x

On a d’une part que

\int \frac{1}{1 + x ^{2}} d x = arctan (x) + C_{1},

et d’autre part

\int \frac{x}{1 + x ^{2}} d x = \frac{1}{2} \int \frac{2 x}{1 + x ^{2}} d x = \frac{1}{2} \int \frac{( 1 + x ^{2} ) ^{'}}{1 + x ^{2}} d x = \frac{1}{2} \int lo g (1 + x^{2}) + C_{2},

donc

\int \frac{1 + x}{1 + x ^{2}} d x = arctan (x) + \frac{1}{2} lo g (1 + x^{2}) + C .

(On a fondu les deux constantes en une seule.)

Exemple 12.13.

À l’aide d’une opération semblable à celle de l’exemple précédent,

\int \frac{lo g ( x )}{x} d x = \int lo g (x) (lo g (x))^{'} d x = \frac{1}{2} (lo g (x))^{2} + C .

Exemple 12.14.

Simplement à l’aide du logarithme,

\int \frac{1}{1 + x} d x = lo g ∣1 + x ∣ + C .

Ensuite,

\int \frac{1}{1 - x} d x = - \int \frac{- 1}{1 - x} d x = - lo g ∣1 - x ∣ + C .

Ceci permet alors de calculer par exemple une primitive de la fonction rationnelle (un quotient de polynômes) suivante,

\int \frac{1}{1 - x ^{2}} d x = \int \frac{1}{( 1 - x ) ( 1 + x )} d x = \frac{1}{2} \int (\frac{1}{1 + x} + \frac{1}{1 - x}) d x = \frac{1}{2} lo g \frac{1 + x}{1 - x} + C

(Nous avons fait ci-dessus une décomposition en éléments simples, méthode sur laquelle nous reviendrons plus loin.)

Lorsqu’on cherche des primitives impliquant des fonctions trigonométriques, on aura souvent recours à certaines formules trigonométriques.

Exemple 12.15.

Considérons

\int sin^{2} (x) d x .

En se rappelant (voir ici) la formule

sin^{2} (α) = \frac{1 - cos ( 2 α )}{2},

on peut écrire

\int sin^{2} (x) d x = \int \frac{1 - cos ( 2 x )}{2} d x = \int \frac{1}{2} d x - \frac{1}{4} \int cos (2 x) (2 x)^{'} d x = \frac{x}{2} - \frac{1}{4} sin (2 x) + C .

Le calcul de primitives plus compliquées, lorsqu’il est possible, requiert l’utilisation de techniques d’intégration, que nous verrons dans les sections suivantes.

Informel 12.4.Internet abonde de vidéos dans lesquelles des gens calculent des primitives, pendant des heures... Ces vidéos peuvent être utiles si on cherche des sources de problèmes plus difficiles/faciles. Par exemple ici (attention: ces vidéos supposent connues les principales techniques d’intégration).

Quiz 12.6.1.(MAN 2021) Vrai ou faux?

\int x^{x} d x = \frac{x ^{x + 1}}{x + 1} + C .