7.5 Propriétés de la limite

Nous avons vu pour l’instant trois notions de limites en un point

x_{0}

x \to x_{0} lim, x \to x_{0}^{+} lim, x \to x_{0}^{-} lim .

Or ces limites obéissent à des propriétés standards qui sont semblables à celles des suites. Plutôt que de les répéter séparément pour chaque notion, nous les énonçons en une seule fois. Dans la proposition ci-dessous, “

lim

” représente une des limites ci-dessus.

Proposition 7.1.

Soient

f, g

telles que

lim f

lim g

existent. Alors:

$lim (f \pm g) = lim f \pm lim g$
$lim (f \cdot g) = (lim f) \cdot (lim g)$
si $lim g \neq = 0$ , alors $lim \frac{f}{g} = \frac{l i m f}{l i m g}$
si $f (x) ⩽ g (x)$ dans un voisinage de $x_{0}$ , alors $lim f ⩽ lim g$

Les propriétés ci-dessus permettent de calculer des limites nouvelles à partir de limites déjà connues, en évitant de devoir passer à chaque fois par la définition, “à la

ε

δ

”.

Exemple 7.11.

Considérons un polynôme

P (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n} = k = 0 \sum n a_{k} x^{k} .

Par les propriétés 1 et 2,

x \to x_{0} lim P (x) = x \to x_{0} lim k = 0 \sum n a_{k} x^{k} = k = 0 \sum n x \to x_{0} lim a_{k} x^{k} = k = 0 \sum n a_{k} x \to x_{0} lim x^{k} = k = 0 \sum n a_{k} x_{0}^{k} = P (x_{0})

Dans l’avant-dernière ligne, on a encore utilisé la propriété 2, pour chaque

k

, comme suit. Puisque

lim_{x \to x_{0}} x = x_{0}

on a

x \to x_{0} lim x^{k} = x \to x_{0} lim k fois x \cdot x \cdot \dots x = k fois (x \to x_{0} lim x) \cdot (x \to x_{0} lim x) \dots (x \to x_{0} lim x) = k fois x_{0} \cdot x_{0} \dots x_{0} = x_{0}^{k} .