Soit $I$ un intervalle, $x_0\in I$, et soit $I^{\prime }:=I\setminus \{x_0\}$. On obtient donc $I$ en rajoutant à $I^{\prime }$ le point $x_0$.
Soit maintenant une fonction $f:I^{\prime }\to \mathbb{R}$, c’est-à-dire définie sur $I$ à l’exception du point $x_0$.
Si on veut étendre le domaine de $f$ à tout $I$, il faut choisir une valeur pour $f(x_0)$. Ce choix est a priori arbitraire, mais une façon naturelle de le faire est de donner à $f$, au point $x_0$, une valeur qui est semblable à celles qu’elle prend dans le voisinage de $x_0$.
Plus précisément: si le nombre $$L=\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$$ existe, il est naturel de l’utiliser pour définir la valeur de $f$ au point $x_0$: $$f(x_0):=L.$$
Cette procédure est surtout utilisée dans le cas où $f$ est, au départ, continue en tout point de $I^{\prime }$:

Si la limite $L$ existe, la nouvelle fonction $$\begin{array}{rl}\tilde{f}:I& \to \mathbb{R}\\ x& \mapsto \{\begin{array}{ll}f(x)& \text{ si }x\ne x_0,\\ L& \text{ si }x=x_0.\end{array}\end{array}$$ est continue en tout point de $I$; elle s’appelle la prolongée de $f$ par continuité: