8.5 Continuité et calcul de limites

On a déjà vu que si une fonction

f

est continue en un point

x_{*}

, alors pour toute suite

(x_{n})

tendant vers

x_{*}

n \to \infty lim f (x_{n}) = f (n \to \infty lim x_{n}) = f (x_{*}) .

Voyons maintenant un résultat analogue, mais dans lequel la suite

x_{n}

(dont la variable est l’entier

n

) est remplacée par une fonction

g (x)

(dont la variable est un réel

x

Théorème 8.6.

Soit

f (y)

définie dans le voisinage d’un point

y_{0} = L

, et continue en ce point

y_{0}

Si $g$ est définie dans un voisinage de $x_{0}$ , et si $x \to x_{0} lim g (x) = y_{0}$ , alors $x \to x_{0} lim f (g (x)) = f (y_{0}) .$
Si $g$ est définie sur un domaine contenant un intervalle de la forme $] a, + \infty [$ , et si $x \to \infty lim g (x) = y_{0}$ , alors $x \to \infty lim f (g (x)) = f (y_{0}) .$

Proof

On démontre la première affirmation.
Fixons

ε > 0

. On procède en deux étapes:

Puisque $f$ est continue en $y_{0}$ , il existe $η > 0$ tel que $∣ f (y) - f (y_{0}) ∣ ⩽ ε$ dès que $0 < ∣ y - y_{0} ∣ ⩽ η$ .
Ensuite, puisque $lim_{x \to x_{0}} g (x) = y_{0}$ , il existe $δ > 0$ tel que $∣ g (x) - y_{0} ∣ ⩽ η$ dès que $0 < ∣ x - x_{0} ∣ ⩽ δ$ .

Prenons donc un

x

tel que

0 < ∣ x - x_{0} ∣ ⩽ δ

. En utilisant la première étape avec

y = g (x)

, on a

∣ f (g (x)) - f (y_{0}) ∣ = ∣ f (y) - f (y_{0}) ∣ ⩽ ε .

Ceci montre bien que

lim_{x \to x_{0}} f (g (x)) = f (y_{0})

.
La deuxième affirmation se démontre de la même façon.

□

Informel 8.7.En d’autres termes, lorsqu’on étudie une limite d’une composée

f (g (x))

, dans laquelle on sait que

g (x) \to y_{0}

, et que $f$ est continue au point

y_{0}

, alors on peut “rentrer la limite dans

f

”:

lim f (g (x)) = f (lim g (x)) = f (y_{0}) .

Exemple 8.14.

Considérons la limite

x \to \infty lim \frac{x}{x + 1} .

On voit ici que

g (x) = \frac{x}{x + 1} \to 1

lorsque

x \to \infty

. Montrons que

f (x) = x

est continue en

y_{0} = 1

. En effet, puisque

∣ f (x) - f (1) ∣ = ∣ x - 1 ∣ = \frac{∣ x - 1∣}{x + 1} ⩽ ∣ x - 1∣,

on a bien que

lim_{x \to 1} f (x) = f (1)

.
On peut donc “rentrer la limite dans

f

”

x \to \infty lim \frac{x}{x + 1} = x \to \infty lim \frac{x}{x + 1} = 1 = 1 .