Lorsqu’on considère des sommes de beaucoup de nombres, on a avantage à utiliser une notation compacte, qui évite d’écrire explicitement tous les termes de la somme: $$x_1+x_2+\cdots +x_N\equiv \sum _{k=1}^N{x}_k.$$ On lit ce dernier symbole “somme des $x_k$, pour $k$ allant de $1$ à $N$”, et on appelle $x_k$ le terme général de la somme.

Notons que l’indice $k$ utilisé ci-dessus est muet, dans le sens où il n’est utilisé “temporairement” que pour nommer l’entier sur lequel on somme. On pourrait donc le nommer de façon arbitraire, cela ne change pas la valeur de la somme: $$\sum _{k=1}^N{x}_k=\sum _{j=1}^N{x}_j=\sum _{n=1}^N{x}_n.$$

Soit $r\in \mathbb{R}$ un réel fixé, appelé raison. La somme de terme général $x_k=r^k$, pour $k$ allant de $0$ à $N$, $$\boxed{S_N:=\sum _{k=0}^N{r}^k=1+r+r^2+r^3+\cdots +r^N,}$$ est appelée somme géométrique.
On peut calculer $S_N$ exactement, quelle que soit la valeur de $N$. En effet, si $r=1$, alors $S_N=N+1$ (puisque la somme $S_N$ contient $N+1$ termes constants, égaux à $1$). Pour les autres valeurs de $r$:

Il existe aussi un symbole utile pour le produit d’un nombre fini de réels: $$a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdots a_N\equiv \prod _{k=1}^N{a}_k,$$ qui se lit “produit des $a_k$, pour $k$ allant de $1$ à $N$.