10.2 Définition et unicité

Un développement limité permet de représenter une fonction au voisinage d’un point

x_{0}

, à l’aide d’un polynôme:

f (x) = polyn \overset{o}{ˆ} me (x) + R (x) .

Le polynôme approximera bien la fonction dans le sens où la valeur du reste

R (x)

doit être négligeable proche de

x_{0}

, dans un sens très précis:

Définition 10.1.

Soit

f

définie au voisinage de

x_{0}

. On appelle développement limité d’ordre $n$ de $f$ autour de $x_{0}$ une représentation de

f (x)

de la forme

f (x) = a_{0} + a_{1} (x - x_{0}) + a_{2} (x - x_{0})^{2} + \dots + a_{n} (x - x_{0})^{n} + R (x),

où

les $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} \in R$ sont des coefficients (constants), et le polynôme
$p (x) = a_{0} + a_{1} (x - x_{0}) + a_{2} (x - x_{0})^{2} + \dots + a_{n} (x - x_{0})^{n}$
est appelé partie principale du développement, et
le reste $R (x)$ est de la forme
$R (x) = (x - x_{0})^{n} ε (x),$
où $ε (x)$ est une fonction définie dans un voisinage épointé de $x_{0}$ , telle que
$x \to x_{0} lim ε (x) = 0 .$

Remarque 10.1.

Remarquons que dans le cas $n = 1$ , la partie principale n’est autre que la droite tangente en $x_{0}$ , et dans le reste $R (x) = (x - x_{0}) ε (x)$ , la fonction $ε (x)$ représente $r_{x_{0}} (x)$ : $f (x) = = a_{0} f (x_{0}) + = a_{1} f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + = R (x) (x - x_{0}) r_{x_{0}} (x)$
On évitera de trop alourdir l’écriture, en omettant d’indiquer la dépendance de $R (x)$ et $ε (x)$ en $f$ , $n$ , et $x_{0}$ (une notation plus précise serait $R_{f, x_{0}, n} (x)$ , $ε_{f, x_{0}, n} (x)$ ).
Il est important, la plupart du temps, de souligner que plus $x$ est proche de $x_{0}$ , plus le reste devient négligeable par rapport à la partie principale! Plus précisément, le reste est toujours plus petit que le terme de la partie principale de plus grand degré. En effet, pour tout $k = 0, 1, 2, \dots, n$ ,
$x \to x_{0} lim \frac{R ( x )}{( x - x _{0} ) ^{k}} = x \to x_{0} lim (x - x_{0})^{n - k} ε (x) = 0 .$
C’est pour cette raison que la partie principale fournit une bonne approximation de la fonction au voisinage de $x_{0}$ .
Dans la suite, pour abbréger “développement limité d’ordre $n$ ”, on écrira simplement “ $D L (n)$ ”.

La façon très précise dont le

D L (n)

a été défini a une première conséquence importante: lorsqu’il existe, il est unique.

Lemme 10.1.

f

possède un

D L (n)

autour de

x_{0}

, alors les coefficients

a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n}

et la fonction

ε (x)

et sont uniques.

Proof

Supposons que

f

possède un

D L (n)

x_{0}

, et qu’il y ait deux façons de l’écrire, la première étant

f (x) = a_{0} + a_{1} (x - x_{0}) + a_{2} (x - x_{0})^{2} + \dots + a_{n} (x - x_{0})^{n} + (x - x_{0})^{n} ϵ_{1} (x),

la deuxième étant

f (x) = b_{0} + b_{1} (x - x_{0}) + b_{2} (x - x_{0})^{2} + \dots + b_{n} (x - x_{0})^{n} + (x - x_{0})^{n} ϵ_{2} (x),

En prenant

x \to x_{0}

, on a donc d’une part

x \to x_{0} lim f (x) = a_{0},

et d’autre part

x \to x_{0} lim f (x) = b_{0},

ce qui implique

a_{0} = b_{0}

. Ensuite, remarquons que

x \to x_{0} lim = = \frac{f ( x ) - a _{0}}{x - x _{0}} x \to x_{0} lim (a_{1} + \to 0 a_{2} (x - x_{0}) + \dots + a_{n} (x - x_{0})^{n - 1} + (x - x_{0})^{n - 1} ϵ_{1} (x)) a_{1},

qui puisque

a_{0} = b_{0}

est aussi égale à

x \to x_{0} lim = = \frac{f ( x ) - b _{0}}{x - x _{0}} x \to x_{0} lim (b_{1} + \to 0 b_{2} (x - x_{0}) + \dots + b_{n} (x - x_{0})^{n - 1} + (x - x_{0})^{n - 1} ϵ_{2} (x)) b_{1},

donc

a_{1} = b_{1}

. En procédant ainsi, on montre ensuite que

a_{2} = b_{2}

a_{3} = b_{3}

, ...,

a_{n} = b_{n}

. Finalement,

ε_{1} (x) = \frac{f ( x ) - { a _{0} + a _{1} ( x - x _{0} ) + \dots + a _{n} ( x - x _{0} ) ^{n} }}{( x - x _{0} ) ^{n}} = \frac{f ( x ) - { b _{0} + b _{1} ( x - x _{0} ) + \dots + b _{n} ( x - x _{0} ) ^{n} }}{( x - x _{0} ) ^{n}} = ε_{2} (x) .

(Donc le reste, est une fonction en général compliquée, mais que l’on peut toujours exprimer explicitement à l’aide de

f (x)

et de la partie principale.)

□

Informel 10.3.On utilisera ce dernier résultat souvent dans ce qui suit: dès que l’on peut écrire une fonction

f

, au voisinage d’un point

x_{0}

, comme

f (x) = a_{0} + a_{1} (x - x_{0}) + \dots + a_{n} (x - x_{0})^{n} + ε (x) (x - x_{0})^{n},

où

lim_{x \to x_{0}} ε (x) = 0

, c’est qu’on a trouvé le (

=

l’unique)

D L (n)

f

autour de

x_{0}

Exemple 10.2.

Reprenons

f (x) = e^{x}

au voisinage de

x_{0} = 0

. On sait que

e^{x} = 1 + x + x ε (x),

avec

ε (x) \to 0

lorsque

x \to 0

. Ceci représente un

D L (1)

x_{0} = 0

.
Montrons maintenant que cette fonction possède un

D L (2)

0

, donné par

e^{x} = 1 + x + \frac{1}{2} x^{2} + x^{2} ε (x) .

(Attention: la fonction

ε (x)

, ici, n’est pas la même que celle de la ligne précédente!) Pour ce faire exprimons, explicitement en fonction de

x

ε (x) = \frac{e ^{x} - { 1 + x + \frac{x ^{2}}{2} }}{x ^{2}}

(cette fonction est effectivement définie dans un voisinage épointé de

x_{0} = 0

), et calculons

x \to 0 lim ε (x) = x \to 0 lim \frac{e ^{x} - { 1 + x + \frac{12}{x ^{2}} }}{x ^{2}} = B H x \to 0 lim \frac{e ^{x} - { 1 + x }}{2 x} = B H x \to 0 lim \frac{e ^{x} - { 1 }}{2} = 0 .

Par le théorème d’unicité, ceci implique que l’expression ci-dessus est bien le

D L (2)

Exemple 10.3.

Considérons

f (x) = \frac{1}{1 - x}

, dans un voisinage de

x = 0

. Rappelons la formule obtenue pour une somme géométrique: pour tout

x \neq = 1

1 + x + x^{2} + x^{3} + \dots + x^{n} = \frac{1 - x ^{n + 1}}{1 - x} = \frac{1}{1 - x} - \frac{x ^{n + 1}}{1 - x},

qui permet d’écrire

\frac{1}{1 - x} = principale 1 + x + x^{2} + \dots + x^{n} + x^{n} =: ε (x) \frac{x}{1 - x}

Puisque

lim_{x \to 0} ε (x) = 0

, cette expression est bien le

D L (n)

f

autour de zéro.