Calculons les racines $2$-èmes (appelées aussi racines carrées) de $-1+\mathsf{i}$, qui sont les $z$ tels que $$z^2=-1+\mathsf{i}$$ On utilise le théorème du dessus. Comme ici $\omega =-1+\mathsf{i}=\sqrt{2}\cdot e^{\mathsf{i}\frac{3\pi }{4}}$, les racines sont $$z_k=\sqrt[4]{2}\cdot e^{\mathsf{i}\frac{\frac{3\pi }{4}+2k\pi }{2}}=\sqrt[4]{2}\cdot e^{\mathsf{i}(\frac{3\pi }{8}+k\pi )},k=0,1,$$ c’est-à-dire $$z_0=\sqrt[4]{2}\cdot e^{\mathsf{i}\frac{3\pi }{8}},z_1=\sqrt[4]{2}\cdot e^{\mathsf{i}\frac{11\pi }{8}}.$$ Les racines $z_0$ et $z_1$ sont sur un cercle de rayon $\sqrt[4]{2}$, et leur carré est bien égal à $\omega =-1+\mathsf{i}$ (sur l’animation ci-dessous, déplacer $z$ de façon à ce que $z^2=-1+\mathsf{i}$):

Calculons les racines cubiques de $\mathsf{i}$: $$z^3=\mathsf{i}.$$ Comme $\mathsf{i}=1\cdot e^{\mathsf{i}\frac{\pi }{2}}$, les racines sont $$z_k=\sqrt[3]{1}\cdot e^{\mathsf{i}\frac{\frac{\pi }{2}+2k\pi }{3}}=e^{\mathsf{i}(\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{3})},k=0,1,2,$$ c’est-à-dire $$\begin{array}{r}{z}_0=e^{\mathsf{i}\frac{\pi }{6}},z_1=e^{\mathsf{i}\frac{5\pi }{6}},z_2=e^{\mathsf{i}\frac{3\pi }{2}}.\end{array}$$ Ces racines sont sur le cercle trigonométrique, aux sommets d’un triangle équilatéral, rendu visible sur cette animation:

Calculons les racines sixièmes de l’unité, c’est-à-dire les solutions de $$z^6=1.$$ Sous forme polaire, $1=1e^{\mathsf{i}0}$, et donc ses racines sixièmes sont $$z_k=\sqrt[6]{1}\cdot e^{\mathsf{i}\frac{0+2k\pi }{6}}=e^{\mathsf{i}\frac{k\pi }{3}},k=0,1,2,3,4,5.$$