2.4 Exponentielle complexe

Considérons la fonction

φ : R \to C

définie par

φ (θ) := cos θ + i sin θ .

Par la propriété de l’argument,

φ (θ) φ (θ^{'}) = φ (θ + θ^{'}) .

Cette relation n’est pas sans rappeler la propriété de base de la fonction exponentielle (définie sur

R

e^{x} e^{y} = e^{x + y} .

On peut profiter de cette analogie pour introduire une nouvelle fonction sur

C

Définition 2.4.

Soit

z \in C

. Alors l’exponentielle complexe est la fonction définie par

exp : C z \to C \mapsto exp (z) := e^{Re (z)} (cos (Im (z)) + i sin (Im (z))) .

Remarque 2.3.

Dans cette définition, la partie “

e^{Re (z)}

” est l’exponentielle classique (du réel

Re (z)

), et “

cos

” et “

sin

” sont les fonctions trigonométriques usuelles. En particulier, si

Im (z) = 0

, c’est-à-dire si

z

est un nombre réel, alors

exp (z)

coïncide avec “l’exponentielle de

z

” au sens classique du terme. Pour cette raison, par abus de notation, nous écrirons souvent “

e^{z}

” au lieu de “

exp (z)

”.

Proposition 2.2.

(Propriétés de

z \mapsto exp (z)

)

$e^{z} e^{z^{'}} = e^{z + z^{'}}$
$∣ e^{z} ∣ = e^{Re (z)}$
$Arg (e^{z}) = Im (z)$
$e^{z + 2 k π i} = e^{z}$ (périodicité dans la direction imaginaire)

Informel 2.3.La définition de

e^{z}

donnée ci-dessus peut paraître un peu arbitraire. En analyse complexe, l’exponentielle est en général définie par une série (nous ne traiterons pas des séries complexes dans ce cours):

exp (z) := n ⩾ 0 \sum \frac{z ^{n}}{n !} .

On peut montrer que cette définition satisfait à toutes les propriétés énoncées ci-dessus, et qu’elle coïncide avec l’expression que nous avons utilisée pour définir

e^{z}

2.4.1 Exponentielle de nombres purement imaginaires, Formule d’Euler

L’exponentielle d’un nombre purement imaginaire

i y

n’est autre que

φ (y)

e^{i y} = cos y + i sin y .

Ainsi, la fonction

y \mapsto e^{i y}

jouit des propriétés suivantes:

$∣ e^{i y} ∣ = 1$
$\overline{e^{i y}} = e^{i (- y)}$
$e^{i y} e^{i y^{'}} = e^{i (y + y^{'})}$
$\frac{e ^{i y}}{e ^{i y^{'}}} = e^{i (y - y^{'})}$
$sin y = \frac{e ^{i y} - e ^{- i y}}{2 i}$
$cos y = \frac{e ^{i y} + e ^{- i y}}{2}$

Observons

e^{i y}

pour quelques valeurs particulières de

y

$e^{i \frac{π}{2}} = i$ ,
$e^{i 2 k π} = 1 \forall k \in Z$ ,
Formule d’Euler: $e^{i π} = - 1$ .

2.4.2 Représentation polaire/exponentielle

Si un complexe

z \in C

est tel que

∣ z ∣ = r

Arg (z) = θ

, on peut maintenant le représenter sous forme polaire/exponentielle (on dira plus simplement polaire):

z = r e^{i θ} .

La formule de Moivre devient maintenant:

z^{n} = (r e^{i θ})^{n} = r^{n} e^{i n θ} = r^{n} (cos (n θ) + i sin (n θ)) .

La représentation exponentielle des nombres complexes est très utile, par exemple pour calculer des puissances:

Exemple 2.5.

z = 2 - 23 i

, calculons

z^{999}

.
Calculer cette puissance en multipliant

z

par lui-même

998

fois, à l’aide de la définition du produit complexe uniquement, n’est probablement pas une bonne idée. Utilisons plutôt la forme polaire de

z

, déjà calculée plus haut:

z = 4 e^{i (- \frac{π}{3})} .

Par la formule de Moivre,

z^{999} = 4^{999} e^{i (- 999 \frac{π}{3})} = 4^{999} e^{i (- 333 π)} = 4^{999} e^{i (- 166 \cdot 2 π - π)} = 4^{999} = 1 e^{i (- 166 \cdot 2 π)} = - 1 e^{i (- π)} = - 4^{999} .

Exemple 2.6.

(\frac{1 - i}{1 + i})^{4} = (\frac{2 e ^{i (- \frac{π}{4})}}{2 e ^{i \frac{π}{4}}})^{4} = (e^{i (- \frac{π}{2})})^{4} = e^{i (- 2 π)} = 1 .

Finalement, la notation polaire/exponentielle est utile pour résoudre des équations en une variable complexe

z

. Pour cela, on aura souvent besoin de se souvenir que si

z, z^{'}

sont deux nombres complexes écrits sous forme polaire,

z = r e^{i θ}

z^{'} = r^{'} e^{i θ^{'}}

, alors

z = z^{'} \Leftrightarrow r = r^{'} et θ = θ^{'} + 2 k π

pour un entier

k

qui peut être quelconque.

Exemple 2.7.

Considérons l’équation complexe

(\frac{z}{z})^{2} = z .

On se rend vite compte, en essayant de poser

z = a + i b

, que l’approche cartésienne n’est pas la bonne . Écrivons plutôt

z = r e^{i θ}

. Puisque

r > 0

(sinon l’équation n’est pas définie), l’équation devient

(\frac{r e ^{i θ}}{r e ^{- i θ}})^{2} = r e^{i θ},

qui est

e^{i 4 θ} = r e^{i θ} .

On a donc (voir la remarque ci-dessus)

r = 1

, et

4 θ = θ + 2 k π,

ce qui donne

θ = k \frac{2 π}{3}

, et donc les solutions sont de la forme

z = e^{i k \frac{2 π}{3}}

. On obtient exactement trois solutions distinctes en prenant

k = 0, 1, 2

Dans la section suivante, nous verrons l’utilité de la notation polaire/exponentielle pour trouver les racines d’un nombre complexe.