2.2 Définition

Comme

R

, l’ensemble des nombres complexes, noté

C

, est un corps, c’est-à-dire un ensemble muni des opérations

+, -, \cdot, \div

, satisfaisant aux propriétés usuelles.

Ce qui rend ce corps particulier est qu’il est formé de paires de réels, pour lesquelles la définition d’un produit “

\cdot

” n’est pas forcément naturelle:

Définition 2.1.

On note

C

l’ensemble des paires de réels,

z = (x, y)

, muni des deux opérations suivantes. Si

z = (x, y)

z^{'} = (x^{'}, y^{'})

leur addition est définie $z + z^{'} := (x + x^{'}, y + y^{'}),$
et leur multiplication par $z \cdot z^{'} := (x x^{'} - y y^{'}, x y^{'} + x^{'} y) .$

Exemple 2.1.

(1, 2) \cdot (- 3, 4) = (- 11, - 2)

Exemple 2.2.

(α, 0) \cdot (x, y) = (α x - 0 \cdot y, α y + 0 \cdot x) = (α x, α y)

Lemme 2.1.

(Propriétés des opérations

+

\cdot

)

$z + z^{'} = z^{'} + z$ pour toute paire $z, z^{'} \in C$
$z + (z^{'} + z^{''}) = (z + z^{'}) + z^{''}$ pour tous $z, z^{'}, z^{''} \in C$
L’élément $(0, 0)$ est appelé élément neutre pour l’addition, puisque $z + (0, 0) = (0, 0) + z = z$ pour tout $z \in C$ .
Pour tout $z \in C$ il existe un unique élément noté $- z \in C$ et appelé opposé de $z$ , tel que $z + (- z) = 0$ . En fait, si $z = (x, y)$ , alors $- z = (- x, - y) = (- 1, 0) \cdot z$ .
$z \cdot z^{'} = z^{'} \cdot z$ pour tous $z, z^{'} \in C$
$z \cdot (z^{'} \cdot z^{''}) = (z \cdot z^{'}) \cdot z^{''}$ pour tout triplet $z, z^{'}, z^{''} \in C$
$z \cdot (z^{'} + z^{''}) = z \cdot z^{'} + z \cdot z^{''}$ pour tous $z, z^{'}, z^{''} \in C$ ,
L’élément $(1, 0)$ est appelé élément neutre pour la multiplication, puisque $(1, 0) \cdot z = z \cdot (1, 0) = z$ pour tout $z \in C$ .
Pour tout $z \in C$ , $z \neq = (0, 0)$ , il existe un unique élément appelé inverse, noté $z^{- 1}$ , tel que
$z \cdot z^{- 1} = z^{- 1} \cdot z = (1, 0) .$
En fait, si $z = (x, y)$ alors
$z^{- 1} = (\frac{x}{x ^{2} + y ^{2}}, \frac{- y}{x ^{2} + y ^{2}}) .$

Une fois que l’on a l’addition et la notion d’opposé, on a aussi une soustraction: si $z^{'}, z^{''} \in C$ , on définit leur soustraction: $z^{'} - z^{''} := z^{'} + (- z^{''}) .$
Une fois que l’on a la multiplication et la notion d’inverse, on a aussi une division: si $z, z^{'} \in C$ et si $z^{'} \neq = 0$ , on définit leur division: $\frac{z}{z ^{'}} := z \cdot z^{' - 1} .$

Comme pour les réels, on écrira

z z^{'}

au lieu de

z \cdot z^{'}

. On utilisera aussi la notation

z^{n} := n fois z \dots z .

Informel 2.1.Remarquons que l’on n’introduira pas d’ordre total sur

C

, c’est-à-dire que l’on ne définira pas, comme on le fait sur

R

, de symboles tels que “

⩽, ⩾, <, >

”.
En effet, entre

(1, 2)

(2, 1)

, lequel définir comme étant le “plus grand”?

2.2.1 Un sous-ensemble de $C$ identifié avec $R$

Remarquons que sur le sous-ensemble de

C

formé des paires dont la deuxième composante est nulle,

(x, 0)

, on a les propriétés suivantes:

$(x, 0) + (x^{'}, 0) = (x + x^{'}, 0)$
$(x, 0) \cdot (x^{'}, 0) = (x x^{'}, 0)$
Opposé: $- (x, 0) = (- x, 0)$
Inverse: Si $x \neq = 0$ , alors $(x, 0)^{- 1} = (x^{- 1}, 0)$

Ces propriétés montrent que les nombres complexes

(x, 0)

se comportent essentiellement comme des nombres réels. Ceci mène à faire l’identification suivante, même si elle représente un abus de notation:

‘‘ R = {(x, 0) \in C : x \in R}^{''}

Cela signifie que dorénavant, nous ferons comme si

R

était un sous-ensemble de

C

. De plus, lorsqu’aucune ambiguïté n’est possible, on écrira simplement “

x

” pour un réel, au lieu de “

(x, 0)

”. Par exemple,

0

sera considéré comme étant

(0, 0)

. Cette simplification aura l’avantage de faciliter l’écriture et la lecture d’expressions.

2.2.2 L’équation $z^{2} + 1 = 0$ et le nombre $i$

Définissons le complexe

i := (0, 1) .

On remarque que

(- i)^{2} = i^{2} = (0, 1) \cdot (0, 1) = (- 1, 0) = - 1,

et donc que

i

- i

sont solutions de l’équation

z^{2} + 1 = 0 .

En d’autres termes, dans

C

, le polynôme

z^{2} + 1

peut être factorisé (ce qu’on ne peut pas faire dans les réels!):

z^{2} + 1 = (z - i) (z + i) .

Puisque

i

est un complexe dont le carré vaut

- 1

, on pourra abuser un peu de la notation suivante:

i \equiv - 1 .

“Toutes les expressions comme

- 1, - 2, \dots

sont des nombres impossibles ou imaginaires, puisqu’ils représentent les racines carrées de quantités négatives ; de ces nombres, nous pouvons seulement affirmer qu’ils ne sont ni zéro, ni supérieurs à zéro, ni inférieurs à lui, ce qui nécessairement les rend imaginaires ou impossibles. ”

Leonhard Euler, env 1750

Remarquons que

i^{1} = i, i^{2} = - 1, i^{3} = - i, i^{4} = + 1, i^{5} = i, etc

2.2.3 Partie réelle, partie imaginaire

On peut maintenant écrire, pour tout complexe

(x, y) \in C

(x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1) y \equiv x + i y,

Ainsi, l’expression du produit de

(x, y) = x + i y

(x^{'}, y^{'}) = x^{'} + i y^{'}

se retrouve facilement:

(x, y) \cdot (x^{'}, y^{'}) = (x + i y) (x^{'} + i y^{'}) = x x^{'} + x y^{'} i + x^{'} y i + y y^{'} = - 1 i^{2} = (x x^{'} - y y^{'}) + i (x y^{'} + x^{'} y) = (x x^{'} - y y^{'}, x y^{'} + x^{'} y) .

Définition 2.2.

z = (x, y) = x + i y

$Re (z) := x$ est la partie réelle de $z$ .
$Im (z) := y$ est la partie imaginaire de $z$ .

On a

Re (z + z^{'}) Im (z + z^{'}) = Re (z) + Re (z^{'}), = Im (z) + Im (z^{'}) .

Comme on a dit plus tôt, les nombres sans partie imaginaire (

Im (z) = 0

) sont identifiés avec les réels. Aussi, les nombres sans partie réelle (

Re (z) = 0

) sont les nombres purement imaginaires. En particulier,

i

est purement imaginaire.

2.2.4 Conjugué et module

Remarquons que

(x + i y) (x - i y) = x^{2} + y^{2} .

Ceci mène naturellement à introduire deux notions:

Définition 2.3.

z = x + i y

le complexe $\overline{z} := x - i y$ est appelé complexe conjugué à $z$ ,
le réel $∣ z ∣ := x^{2} + y^{2}$ est appelé module de $z$ .

Lemme 2.2.

Le conjugué et le module jouissent des propriétés suivantes:

$\overline{\overline{z}} = z$
$z = \overline{z}$ si et seulement si $z \in R$
$\overline{z + z^{'}} = \overline{z} + \overline{z^{'}}$
$\overline{z z^{'}} = \overline{z} \overline{z^{'}}$
$z \overline{z} = ∣ z ∣^{2}$
$∣ \overline{z} ∣ = ∣ z ∣$
$\overline{(\frac{z}{z ^{'}})} = \frac{z}{z ^{'}}$
$\frac{z + z}{2} = Re z$
$\frac{z - z}{2 i} = Im z$

Proof

Si $z = x + i y$ , alors $\overline{\overline{z}} = \overline{\overline{x + i y}} = \overline{x - i y} = x + i y = z .$
Si $z = x + i y$ , alors $z = \overline{z}$ si et seulement $x + i y = x - i y$ , qui signifie $y = - y$ , c’est-à-dire $2 y = 0$ , et donc $y = 0$ . Ceci signifie bien que $z$ est réel.
$\overline{z + z^{'}} = \overline{(x + i y) + (x^{'} + i y^{'})} = \overline{(x + x^{'}) + i (y + y^{'})} = (x + x^{'}) - i (y + y^{'}) = (x - i y) + (x^{'} - i y^{'}) = \overline{z} + \overline{z^{'}}$
$\overline{z z^{'}} = \overline{(x + i y) (x^{'} + i y^{'})} = \overline{(x x^{'} - y y^{'}) + i (x y^{'} + x^{'} y)} = (x x^{'} - y y^{'}) - i (x y^{'} + x^{'} y) = (x - i y) (x^{'} - i y^{'}) = \overline{z} \overline{z^{'}} .$
$z \overline{z} = (x + i y) (x - i y) = x^{2} + y^{2} = ∣ z ∣^{2}$
$∣ \overline{z} ∣ = ∣ x - i y ∣ = x^{2} + (- y)^{2} = x^{2} + y^{2} = ∣ z ∣$
$\frac{z + z}{2} = \frac{( x + i y ) + ( x - i y )}{2} = x$
$\frac{z - z}{2 i} = \frac{( x + i y ) - ( x - i y )}{2 i} = y$

□

On peut calculer une division

\frac{z}{z ^{'}}

en divisant et multipliant par le conjugué de

z^{'}

\frac{z}{z ^{'}} = \frac{x + i y}{x ^{'} + i y ^{'}} = \frac{( x + i y ) ( x ^{'} - i y ^{'} )}{( x ^{'} + i y ^{'} ) ( x ^{'} - i y ^{'} )} = \frac{x x ^{'} + y y ^{'} + i ( y x ^{'} - x y ^{'} )}{x ^{' 2} + y ^{' 2}} = = Re (\frac{z}{z ^{'}}) \frac{x x ^{'} + y y ^{'}}{x ^{' 2} + y ^{' 2}} + i = Im (\frac{z}{z ^{'}}) \frac{y x ^{'} - x y ^{'}}{x ^{' 2} + y ^{' 2}} .

Cette expression permet aussi de retrouver la formule pour l’inverse:

z^{- 1} = \frac{1}{z} = \frac{x}{x ^{2} + y ^{2}} - i \frac{y}{x ^{2} + y ^{2}} = (\frac{x}{x ^{2} + y ^{2}}, \frac{- y}{x ^{2} + y ^{2}}) .

2.2.5 Résoudre des équations complexes simples

Remarque 2.1.

Soient

z = x + i y

z^{'} = x^{'} + i y^{'}

. Alors

z = z^{'} \Leftrightarrow x = x^{'} et y = y^{'} .

On utilise cette propriété pour résoudre des équations.

Exemple 2.3.

Résolvons l’équation du premier degré en

z

donnée par

z - 3 i z - 3 + 6 i = 0 .

Une manière de procéder est d’isoler

z

, et de faire la division à l’aide du conjugué:

z = \frac{3 - 6 i}{1 - 3 i} = \frac{21}{10} + i \frac{3}{10} .

Sinon, on peut aussi poser

z = a + b i

, injecter dans l’équation de départ et réarranger:

0 = (a + b i) - 3 i (a + b i) - 3 + 6 i = (a + 3 b - 3) + i (b - 3 a + 6) .

Or pour qu’un nombre complexe soit le complexe nul

0 + i 0

, ses parties réelles et imaginaires doivent toutes deux être égales à zéro, ce qui implique que

a

b

sont solutions du système

a + 3 b - 3 - 3 a + b + 6 = 0 = 0,

ce qui donne

a = \frac{21}{10}

b = \frac{3}{10}

Quiz 2.2.1.Parmi les identités suivantes, lesquelles sont correctes?

2.2.1 Un sous-ensemble de C identifié avec R

2.2.2 L’équation z2+1=0 et le nombre i

2.2.3 Partie réelle, partie imaginaire

2.2.4 Conjugué et module

2.2.5 Résoudre des équations complexes simples

2.2.1 Un sous-ensemble de $C$ identifié avec $R$

2.2.2 L’équation $z^{2} + 1 = 0$ et le nombre $i$