Série 02 (Nombres $R$ )

Ex-02-01

Montrer que dans

R

Si $x ⩽ y$ et $x^{'} ⩽ y^{'}$ , alors $x + x^{'} ⩽ y + y^{'}$ .
Si $x ⩽ y$ , alors $- y ⩽ - x$ .
Si $z > 0$ , alors $x ⩽ y$ si et seulement si $x z ⩽ y z$ .
Si $0 < x ⩽ y$ , alors $1/ x ⩾ 1/ y$ .

Ex-02-02

Montrer les propriétés ci-dessous.

$∣ - x ∣ = ∣ x ∣$
$- ∣ x ∣ ⩽ x ⩽ ∣ x ∣$
Pour toute paire $x, y \in R$ , $max {x, y} min {x, y} = \frac{1}{2} (x + y + ∣ x - y ∣), = \frac{1}{2} (x + y - ∣ x - y ∣) .$

Ex-02-03

Sans faire de calculs, donner l’infimum et le supremum des sous-ensembles de

R

ci-dessous. Dans chaque cas, préciser si il s’agit en plus d’un minimum ou d’un maximum.

$B =] 3, \infty [$
$C = {x \in R : ∣2 x - 1∣ ⩽ 1}$
$D = {x \in R : ∣ x^{2} - 2∣ < 1}$
$E = {\frac{n}{n + 1} : n \in N}$
$F = {\frac{( - 1 ) ^{n}}{n}, n \in N^{*}}$
$G = {\frac{n ( - 1 ) ^{n}}{n + 1} : n \in N}$
$H = Q$
$I = Q \cap] 0, 1 [$

Ex-02-04

On considère l’ensemble

A = {\frac{3 n}{n + 2} : n \in N^{*}} .

Calculer

inf A

sup A

, uniquement à l’aide des définitions.

Ex-02-05

Soit

A \subset R

un intervalle borné non vide. Vrai ou faux?

Si $sup A \in A$ et $inf A \in A$ , alors $A$ est fermé.
Si $A$ est fermé, alors $sup A \in A$ et $inf A \in A$ .
Si $sup A \neq \in A$ et $inf A \neq \in A$ , alors $A$ est ouvert.
Si $A$ est ouvert, alors $inf A \neq \in A$ et $sup A \neq \in A$ .

Ex-02-06

Montrer que le supremum d’un ensemble majoré est unique.

Ex-02-07

Soient

A, B \subset R

deux ensembles bornés.

Montrer que si $A \subset B$ , alors $sup A ⩽ sup B$ et $inf A ⩾ inf B$ .
Si $x ⩽ y$ pour tout $x \in A$ et tout $y \in B$ , montrer que $sup A ⩽ inf B$ .
Donner un exemple de deux ensembles disjoints $A, B$ tels que $x < y$ pour tout $x \in A$ et tout $y \in B$ , et pour lesquels $sup A = inf B$ .
Donner un exemple de deux ensembles disjoints $A, B$ tels que $inf A = inf B$ .

Ex-02-08

Montrer que si

n

est un entier tel que

n^{2}

est pair, alors

n

est pair.

Ex-02-09

Montrer que les irrationnels sont denses dans

R

Ex-02-10

Montrer que pour tout

y ⩾ 0

, l’équation

x^{2} = y

possède toujours une solution dans

R_{+}

; on la note

y

, et on l’appelle racine carrée de $y$ .

Remarque 17.

Il existe une généralisation de ce résultat: pour tout entier

p \in N^{*}

, et pour tout

y ⩾ 0

, l’équation

x^{p} = y

possède une solution dans

R_{+}^{*}

. On la note

p y

, et on l’appelle racine $p$ -ième de $y$ .

Ex-02-11

(Cet exercice est facultatif.)

Soit

C := {x \in R_{+} : x^{3} < 1}

Montrer que $C$ est majoré.
Montrer que $C$ ne possède pas de maximum.
Calculer $sup C$ .

Ex-02-12

(Cet exercice est facultatif.)

Montrer que l’ensemble

C := {x \in R ∣ x^{2} < 2}

est ouvert.

3.4 Le Théorème des deux gendarmes

Théorème 3.1.

Soit

(x_{n})

une suite. Soient

(a_{n})

(b_{n})

deux suites telles que

$a_{n} ⩽ x_{n} ⩽ b_{n}$ pour tout $n$ suffisamment grand,
$n \to \infty lim a_{n} = n \to \infty lim b_{n} = L$ .

Alors

(x_{n})

converge, et sa limite vaut

L

n \to \infty lim x_{n} = L .

Proof

Soit

N_{0}

un entier tel que

a_{n} ⩽ x_{n} ⩽ b_{n}

pour tout

n ⩾ N_{0}

.
Fixons

ε > 0

Puisque $a_{n} \to L$ , il existe $N_{a}$ tel que $a_{n} \in [L - ε, L + ε]$ pour tout $n ⩾ N_{a}$ .
Puisque $b_{n} \to L$ , il existe $N_{b}$ tel que $b_{n} \in [L - ε, L + ε]$ pour tout $n ⩾ N_{b}$ .

Définissons l’entier

N := max {N_{0}, N_{a}, N_{b}} .

n ⩾ N

, alors on a en particulier que

a_{n} ⩾ L - ε

b_{n} ⩽ L + ε

, ce qui implique

L - ε ⩽ a_{n} ⩽ x_{n} ⩽ b_{n} ⩽ L + ε .

De ces dernières inégalités, on tire que

∣ x_{n} - L ∣ ⩽ ε

.
On a donc bien montré que pour tout

ε > 0

il existe un entier

N

tel que

∣ x_{n} - L ∣ ⩽ ε

pour tout

n ⩾ N

. Ceci signifie que

x_{n} \to L

□

Exemple 3.15.

Considérons la suite

(x_{n})_{n ⩾ 1}

, définie par

x_{n} = \frac{2 + cos ( 19 n ^{2} + n ^{7} )}{n} .

La partie contenant

cos (\dots)

étant compliquée, on peut utiliser le fait qu’elle est bornée:

- 1 ⩽ cos (\dots) ⩽ + 1

, ce qui permet d’écrire

= a_{n} \frac{1}{n} = \frac{2 - 1}{n} ⩽ x_{n} ⩽ \frac{2 + 1}{n} = = b_{n} \frac{3}{n}

Mais, puisque

lim_{n \to \infty} a_{n} = lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0

lim_{n \to \infty} b_{n} = 3 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0

, le théorème des deux gendarmes garantit que

lim_{n \to \infty} x_{n} = 0

Informel 3.5.Une bonne utilisation du théorème, pour montrer qu’une suite

(x_{n})

converge et trouver sa limite, nécessite de trouver deux “gendarmes”

(a_{n})

(b_{n})

qui non seulement encadrent

(x_{n})

, mais qui possèdent en plus la même limite! Dans des situations simples, comme dans l’exemple précédent, on obtient souvent des gendarmes efficaces en majorant/minorant certaines parties de

x_{n}

qui ne sont pas essentielles dans le comportement pour des indices

n

grands. Mais parfois, trouver des gendarmes qui ont la même limite peut s’avérer plus difficile!

Exemple 3.16.

Considérons la suite

(x_{n})_{n ⩾ 1}

, définie par

x_{n} = \frac{2 ^{n}}{n !}, n ⩾ 1 .

Comme le numérateur est un produit de

n

fois le même nombre “

2

”, alors que le dénominateur est un produit de

n

nombres dont presque tous sont plus grands que $2$ , le dénominateur doit croître beaucoup plus vite que le numérateur. Ceci suggère que

x_{n} \to 0

, ce que l’on va essayer de montrer à l’aide du théorème des deux gendarmes.
Comme

x_{n} ⩾ 0

, il suffit de trouver une suite

b_{n}

telle que

$0 ⩽ x_{n} ⩽ b_{n}$ , et
$b_{n} \to 0$ .

Or si on écrit explicitement, pour tout

n ⩾ 3

x_{n} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \dots 2}{n ( n - 1 ) ( n - 2 ) \dots 3 \cdot 2 \dots 1} = \frac{2}{n} \cdot ⩽ 1 \frac{2}{n - 1} \cdot ⩽ 1 \frac{2}{n - 2} \dots ⩽ 1 \frac{2}{3} \cdot = 1 \frac{2}{2} \cdot \frac{2}{1} ⩽ \frac{4}{n} =: b_{n} .

Puisque

b_{n} \to 0

, ceci implique bien que

x_{n} \to 0

Voyons ensuite une conséquence très utile du théorème des deux gendarmes:

Corollaire 3.1.

(x_{n})

est bornée et si

y_{n} \to 0

, alors

x_{n} y_{n} \to 0

Quiz 3.4.1.Vrai ou faux?

a_{n} ⩽ x_{n} ⩽ b_{n}

pour tout

n

suffisamment grand, et si

x_{n}

ne converge pas, alors

a_{n}

b_{n}

ne convergent pas non plus.Si

a_{n} < x_{n} < b_{n}

pour tout

n

suffisamment grand, et si

a_{n} \to L

b_{n} \to L

, alors

x_{n} \to L

.Si

a_{n} ⩽ x_{n} ⩽ b_{n}

pour tout

n

suffisamment grand, et si

∣ a_{n} - b_{n} ∣ \to 0

, alors

x_{n}

converge.Si il existe

N_{1}

tel que

x_{n} ⩾ a_{n}

pour tout

n ⩾ N_{1}

et s’il existe

N_{2}

tel que

x_{n} ⩽ b_{n}

pour tout

n ⩾ N_{2}

, et si

a_{n}

b_{n}

convergent vers la même limite, alors

x_{n}

est convergente.Si

a_{n} ⩽ x_{n} ⩽ b_{n}

pour tout

n

suffisamment grand, et si

lim_{n \to \infty} a_{n} \neq = lim_{n \to \infty} b_{n}

, alors

x_{n}

n’a pas de limite.Si

∣ x_{n} ∣ ⩽ n

et si

y_{n} \to 0

, alors

x_{n} y_{n} \to 0

.Si

e^{x_{n}}

est bornée et si

y_{n} \to 0

, alors

x_{n} y_{n} \to 0

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