Analyse I / GM
Botafogo Série 02 (Nombres R)
Ex-02-01
Montrer que dans R,
- Si x⩽y et x′⩽y′, alors x+x′⩽y+y′.
- Si x⩽y, alors −y⩽−x.
- Si z>0, alors x⩽y si et seulement si xz⩽yz.
- Si 0<x⩽y, alors 1/x⩾1/y.
Ex-02-02
Montrer les propriétés ci-dessous.
- ∣−x∣=∣x∣
- −∣x∣⩽x⩽∣x∣
- Pour toute paire x,y∈R,max{x,y}min{x,y}=21(x+y+∣x−y∣),=21(x+y−∣x−y∣).
Ex-02-03
Sans faire de calculs, donner l’infimum et le supremum des sous-ensembles de R ci-dessous. Dans chaque cas, préciser si il s’agit en plus d’un minimum ou d’un maximum.
- B=]3,∞[
- C={x∈R:∣2x−1∣⩽1}
- D={x∈R:∣x2−2∣<1}
- E={n+1n:n∈N}
- F={n(−1)n,n∈N∗}
- G={n+1n(−1)n:n∈N}
- H=Q
- I=Q∩]0,1[
Ex-02-04
On considère l’ensemble
A={n+23n:n∈N∗}.Calculer infA et supA, uniquement à l’aide des définitions.
Ex-02-05
Soit A⊂R un intervalle borné non vide. Vrai ou faux?
- Si supA∈A et infA∈A, alors A est fermé.
- Si A est fermé, alors supA∈A et infA∈A.
- Si supA∈A et infA∈A, alors A est ouvert.
- Si A est ouvert, alors infA∈A et supA∈A.
Ex-02-06
Montrer que le supremum d’un ensemble majoré est unique.
Ex-02-07
Soient A,B⊂R deux ensembles bornés.
- Montrer que si A⊂B, alors supA⩽supB et infA⩾infB.
- Si x⩽y pour tout x∈A et tout y∈B, montrer que supA⩽infB.
- Donner un exemple de deux ensembles disjoints A,B tels que x<y pour tout x∈A et tout y∈B, et pour lesquels supA=infB.
- Donner un exemple de deux ensembles disjoints A,B tels que infA=infB.
Ex-02-08
Montrer que si n est un entier tel que n2 est pair, alors n est pair.
Ex-02-09
Montrer que les irrationnels sont denses dans R.
Ex-02-10
Montrer que pour tout y⩾0, l’équation
x2=ypossède toujours une solution dans R+; on la note y, et on l’appelle racine carrée de y.
Remarque 17.
Il existe une généralisation de ce résultat: pour tout entier p∈N∗, et pour tout y⩾0, l’équation xp=y possède une solution dans R+∗. On la note py, et on l’appelle racine p-ième de y.
Ex-02-11
(Cet exercice est facultatif.)
Soit C:={x∈R+:x3<1}.
- Montrer que C est majoré.
- Montrer que C ne possède pas de maximum.
- Calculer supC.
Ex-02-12
(Cet exercice est facultatif.)
Montrer que l’ensemble C:={x∈R∣x2<2} est ouvert.
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1.8 Densité dans R
Intuitivement, même si les rationnels sont un sous-ensemble (strict) des réels, ils doivent quand-même être un peu “partout” sur la droite des réels, dans le sens où on doit pouvoir en trouver dans n’importe quelle région de la droite, aussi petite soit-elle. On caractérise ceci précisément à l’aide de la notion de densité.
Animation explicative
Définition 1.5.
Un sous-ensemble E⊂R est dense dans R si pour toute paire x,y∈R, x<y, il existe un z∈E tel que x<z<y.
Il est clair que R est dense dans lui-même, puisque pour toute paire x,y∈R, x<y, on peut toujours considérer le point milieu z:=2x+y. Donc entre deux réels quelconques distincts, il y a toujours un autre réel.
Ce qui est plus intéressant, ce sont les ensembles denses dans R qui sont des sous-ensembles stricts de R, c’est-à-dire qui sont plus petits que R.
Ce qui est plus intéressant, ce sont les ensembles denses dans R qui sont des sous-ensembles stricts de R, c’est-à-dire qui sont plus petits que R.
Théorème 1.2.
L’ensemble des rationnels Q est dense dans R.
Dans la preuve de ce théorème, nous utiliserons la notion suivante.
Définition 1.6.
Pour tout x∈R, la valeur entière de x, notée ⌊x⌋, est le plus grand entier n∈Z tel que n⩽x.
Exemple 1.14.
⌊45⌋=1,⌊−31⌋=−1,⌊−2⌋=−2,⌊π⌋=3.
La définition de ⌊x⌋ implique ⌊x⌋⩽x<⌊x⌋+1∀x∈R. Donc l’image qu’il faut garder en tête est la suivante:
Cette dernière peut aussi s’écrire x−1<⌊x⌋⩽x∀x∈R. Passons à la preuve du théorème.
Proof
Soient deux réels x<y, et soit n un entier suffisamment grand, tel que n>y−x1. On rappelle qu’un tel entier existe car N n’est pas borné. Posons maintenant r:=n⌊nx⌋+1. Comme c’est un quotient de deux entiers, r est rationnel. Et puisque nx−1<⌊nx⌋⩽nx, on a =xn(nx−1)+1<r⩽=x+n1<ynnx+1, ce qui implique x<r<y.
□
La conséquence principale de ce résultat est que l’on peut approximer les réels par des rationnels, dans le sens suivant:
Animation explicative
Corollaire 1.1.
Soit x∈R un réel quelconque. Alors pour tout ε>0, il existe un rationnel qp∈Q tel que ∣x−qp∣⩽ε.
Proof
Posons x′:=x−ε, y′=x+ε. Par le Théorème, il existe un rationnel qp tel que x′<qp<y′, ce qui implique bien que −ε⩽x−qp⩽+ε.
□
En particulier, n’importe quel irrationnel peut être approximé par un rationnel, à un degré arbitraire de précision.
Exemple 1.15.
Nous avons donné des approximations de π dans l’introduction. Dans le langage de la présente section, ces approximations s’expriment ainsi: π−722π−106333π−33102103993⩽0.01⩽0.0001⩽0.000000001 Donc même si π est irrationnel, on sait maintenant qu’on peut fixer un ε>0 aussi petit que l’on veut, et le théorème garantit qu’il existe un rationnel qp à distance au plus ε de π: π−qp⩽ε.
Il se trouve que les irrationnels, eux aussi, permettent d’approximer n’importe quel réel:
Théorème 1.3.
L’ensemble des irrationnels R∖Q est dense dans R.
Proof
(exercice)
□
On utilisera souvent les deux résultats ci-dessus, de la façon suivante: Si x∈R est un réel quelconque, alors quel que soit ε>0 (sous-entendu: aussi petit que l’on veut), il existe toujours un rationnel r∗∈Q et un irrationnel i∗∈R∖Q tels que r∗∈]x−ε,x+ε[,i∗∈]x−ε,x+ε[.
Quiz 1.8.1.Vrai ou faux?
Quiz 1.8.2.Vrai ou faux? Pour tous réels x,y,
Quiz 1.8.3.Soit x un réel quelconque. Vrai ou faux?
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