Série 02 (Nombres $R$ )

Ex-02-01

Montrer que dans

R

Si $x ⩽ y$ et $x^{'} ⩽ y^{'}$ , alors $x + x^{'} ⩽ y + y^{'}$ .
Si $x ⩽ y$ , alors $- y ⩽ - x$ .
Si $z > 0$ , alors $x ⩽ y$ si et seulement si $x z ⩽ y z$ .
Si $0 < x ⩽ y$ , alors $1/ x ⩾ 1/ y$ .

Ex-02-02

Montrer les propriétés ci-dessous.

$∣ - x ∣ = ∣ x ∣$
$- ∣ x ∣ ⩽ x ⩽ ∣ x ∣$
Pour toute paire $x, y \in R$ , $max {x, y} min {x, y} = \frac{1}{2} (x + y + ∣ x - y ∣), = \frac{1}{2} (x + y - ∣ x - y ∣) .$

Ex-02-03

Sans faire de calculs, donner l’infimum et le supremum des sous-ensembles de

R

ci-dessous. Dans chaque cas, préciser si il s’agit en plus d’un minimum ou d’un maximum.

$B =] 3, \infty [$
$C = {x \in R : ∣2 x - 1∣ ⩽ 1}$
$D = {x \in R : ∣ x^{2} - 2∣ < 1}$
$E = {\frac{n}{n + 1} : n \in N}$
$F = {\frac{( - 1 ) ^{n}}{n}, n \in N^{*}}$
$G = {\frac{n ( - 1 ) ^{n}}{n + 1} : n \in N}$
$H = Q$
$I = Q \cap] 0, 1 [$

Ex-02-04

On considère l’ensemble

A = {\frac{3 n}{n + 2} : n \in N^{*}} .

Calculer

inf A

sup A

, uniquement à l’aide des définitions.

Ex-02-05

Soit

A \subset R

un intervalle borné non vide. Vrai ou faux?

Si $sup A \in A$ et $inf A \in A$ , alors $A$ est fermé.
Si $A$ est fermé, alors $sup A \in A$ et $inf A \in A$ .
Si $sup A \neq \in A$ et $inf A \neq \in A$ , alors $A$ est ouvert.
Si $A$ est ouvert, alors $inf A \neq \in A$ et $sup A \neq \in A$ .

Ex-02-06

Montrer que le supremum d’un ensemble majoré est unique.

Ex-02-07

Soient

A, B \subset R

deux ensembles bornés.

Montrer que si $A \subset B$ , alors $sup A ⩽ sup B$ et $inf A ⩾ inf B$ .
Si $x ⩽ y$ pour tout $x \in A$ et tout $y \in B$ , montrer que $sup A ⩽ inf B$ .
Donner un exemple de deux ensembles disjoints $A, B$ tels que $x < y$ pour tout $x \in A$ et tout $y \in B$ , et pour lesquels $sup A = inf B$ .
Donner un exemple de deux ensembles disjoints $A, B$ tels que $inf A = inf B$ .

Ex-02-08

Montrer que si

n

est un entier tel que

n^{2}

est pair, alors

n

est pair.

Ex-02-09

Montrer que les irrationnels sont denses dans

R

Ex-02-10

Montrer que pour tout

y ⩾ 0

, l’équation

x^{2} = y

possède toujours une solution dans

R_{+}

; on la note

y

, et on l’appelle racine carrée de $y$ .

Remarque 17.

Il existe une généralisation de ce résultat: pour tout entier

p \in N^{*}

, et pour tout

y ⩾ 0

, l’équation

x^{p} = y

possède une solution dans

R_{+}^{*}

. On la note

p y

, et on l’appelle racine $p$ -ième de $y$ .

Ex-02-11

(Cet exercice est facultatif.)