Série 01 (Fonctions, preuves par récurrence)

Ex-01-01

Sans faire de calculs, donner l’ensemble image des fonctions

f : D \to R

ci-dessous.

$- 2 x + 1$ , $D = R$
$- 2 x + 1$ , $D = [- 1, 1]$
$x^{p}$ ( $p \in Z^{*}$ impair), $D = R$
$x^{p}$ ( $p \in Z^{*}$ pair), $D = R$
$x^{2} + 1$ , $D = R$
$1 - x^{2}$ , $D = R$
$x^{2} + 2 x$ , $D = R$
$tan x$ , $D =] - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} [$
$sin x$ , $D = [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$
$cos x$ , $D =] - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} [$
$\frac{1}{3} sin x$ , $D = R$
Sur $D = R$ , ${x + 1 \frac{1}{2} (x - 1) si x ⩾ 0 si x < 0$

Ex-01-02

Montrer que chaque fonction ci-dessous est bijective, et donner sa réciproque.

$f : [0, 1] \to [- 3, - 2]$ , $f (x) = x - 3$ .
$g : [0, 1] \to [0, 1]$ , $g (x) = x^{2}$ .
$h : [- 1, 0] \to [0, 1]$ , $h (x) = x^{2}$ .

Ensuite, esquisser le graphe de chacune de ces fonctions, ainsi que de leurs réciproques.

Ex-01-03

Soit

f : R \to R

bijective et impaire. Montrer que sa réciproque

f^{- 1} : R \to R

est aussi impaire.

Ex-01-04

Soit

f : R \to R

définie par

f (x) = \frac{2 x}{x ^{2} + 25} .

Calculer

Im (f)

. Ensuite, déterminer le nombre de préimages pour chaque

y \in Im (f)

Ex-01-05

(Facultatif!)

Montrer que la fonction ci-dessous est une bijection, puis donner sa réciproque.

f : R x \to R_{+}^{*} \mapsto \frac{3 ^{x} + 2}{3 ^{- x}}

Ex-01-06

Pour chacun des ensembles

C

ci-dessous, donner un exemple explicite de bijection

f :] 0, 1 [\to C

$C =] 0, b [$ , où $b > 0$ .
$C =] a, b [$ , où $a < b$ .
$C =] 0, \infty [$
$C =] - \infty, \infty [$
$C = [0, 1]$ (facultatif!)

Ex-01-07

Soient

f, g : R \to R

. Vrai ou faux?

$f \circ g = g \circ f \Leftrightarrow f = g$ .
Si $f$ et $g$ sont injectives, alors $f \circ g$ est injective.
Si $f \circ f$ est injective, alors $f$ est injective.
Si $f \circ g$ est injective, alors $g$ est injective.
Si $f \circ g$ est injective, alors $f$ est injective.
Si $f \circ g$ est surjective, alors $f$ est surjective.

Ex-01-08

Montrer par récurrence que pour tout entier

n ⩾ 1

1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} .

Ensuite, donner la valeur de la somme

k = 0 \sum 1000 (k + 1) (3 k + 2)

Ex-01-09

Montrer, par récurrence sur l’entier

n ⩾ 1

, que

n^{3} + 5 n

est un multiple de

3

Ex-01-10

Démontrer l’inégalité de Bernoulli: pour tout entier

n ⩾ 1

(1 + x)^{n} ⩾ 1 + n x, \forall x ⩾ - 1 .

Ex-01-11

Pour tout entier

n ⩾ 0

, on définit le nombre de Fermat

F_{n} := 2^{(2^{n})} + 1

. Démontrer, pour

n ⩾ 1

, l’identité

F_{n} = 2 + k = 0 \prod n - 1 F_{k} .

Ex-01-12

Montrer par récurrence que pour tout entier

n ⩾ 1

$k = 1 \sum n k^{3} = (\frac{1}{2} n (n + 1))^{2}$
$k = 1 \sum n (- 1)^{n - k} k^{2} = \frac{n ( n + 1 )}{2}$

1.2 Règles de calcul: $+, -, \cdot, \div$

Les nombres réels forment avant tout un ensemble dans lequel on peut faire de l’arithmétique, c’est-à-dire dans lequel on peut additionner, soustraire, multiplier et diviser. (En mathématiques, un ensemble muni de ces opérations est appelé un corps. )

La première opération, l’addition notée “

+

”, est une opération qui associe à une paire de réels

x, y

un nouveau réel noté

x + y

. Cette opération satisfait aux propriétés suivantes:

$x + y = y + x$ pour toute paire $x, y \in R$
$x + (y + z) = (x + y) + z$ pour tous $x, y, z \in R$
Il existe un élément $0 \in R$ , appelé élément neutre pour l’addition (ou simplement “zéro”), tel que $x + 0 = 0 + x = x$ pour tout $x \in R$ .
Pour tout $x \in R$ il existe un unique élément noté $- x \in R$ et appelé opposé de $x$ , tel que $x + (- x) = 0$ .

x, y \in R

, on peut définir leur soustraction:

x - y := x + (- y) .

La deuxième opération, la multiplication, notée “

\cdot

”, associe à une paire de réels

x, y

un nouveau réel noté

x \cdot y

. Elle satisfait aux propriétés suivantes:

$x \cdot y = y \cdot x$ pour tous $x, y \in R$
$x \cdot (y \cdot z) = (x \cdot y) \cdot z$ pour tout triplet $x, y, z \in R$
$x \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z$ pour tous $x, y, z \in R$ ,
Il existe un élément $1 \in R$ , appelé élément neutre pour la multiplication (ou simplement “un”), tel que $1 \cdot x = x \cdot 1 = x$ pour tout $x \in R$ .
Pour tout $x \in R$ , $x \neq = 0$ , il existe un unique élément noté $x^{- 1} \in R$ , appelé inverse de $x$ , tel que $x \cdot x^{- 1} = x^{- 1} \cdot x = 1$ .

Souvent, on écrit

x y

au lieu de

x \cdot y

.
Si

x, y \in R

et si

y \neq = 0

, on peut définir leur division:

x \div y := x \cdot y^{- 1} .

En général, on écrit

\frac{x}{y}