Série 00 (Notions élémentaires)

Factoriser chaque expression.

$4 x^{2} - 25$
$2 x^{2} + 5 x - 12$
$x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 12$
$x^{2} + 27 x$
$3 x^{3/2} - 9 x^{1/2} + 6 x^{- 1/2}$
$x^{3} y - 4 x y$

Simplifier les expressions rationnelles suivantes.

$\frac{x ^{2} + 3 x + 2}{x ^{2} - x - 2}$
$\frac{2 x ^{2} - x - 1}{x ^{2} - 9} \cdot \frac{x + 3}{2 x + 1}$
$\frac{x ^{2}}{x ^{2} - 4} - \frac{x + 1}{x + 2}$
$\frac{\frac{y}{x} - \frac{x}{y}}{\frac{1}{y} - \frac{1}{x}}$

Dans chaque cas, effectuer la division polynomiale de

P (x)

par

Q (x)

. S’il y a un reste, le donner explicitement.

$P (x) = x^{2} + 5 x - 6$ , $Q (x) = x - 1$
$P (x) = x^{3} + 1$ , $Q (x) = x + 1$
$P (x) = x^{5} - 5 x^{2} - x + 3$ , $Q (x) = x^{2} + 1$
$P (x) = x + 1$ , $Q (x) = x^{2} + 1$

Rendre le dénominateur rationnel et simplifier.

$\frac{10}{5 - 2}$
$\frac{h}{9 + h + 3}$

Simplifier les expressions, où

a, b > 0

p, q \in R^{*}

$(ab)^{p} b^{q - p}$
$\frac{a ^{p}}{b ^{- q}}$
$\frac{b ^{q}}{a ^{- p}}$
$(a b^{\frac{q}{p}})^{p}$
$(a^{\frac{p}{q}} b)^{q}$
$(a^{\frac{1}{q}} b^{\frac{1}{p}})^{pq}$
$a^{2 p} b^{q}$
$((\frac{1}{a})^{q} + (\frac{1}{b})^{p}) \frac{a ^{p} ( ab ) ^{q}}{1 + \frac{a ^{q}}{b ^{p}}}$
$a^{q} b^{p} \frac{\frac{a ^{p} + b ^{q}}{( \frac{1}{a} ) ^{p} + ( \frac{1}{b} ) ^{q}}}{\frac{a ^{q} + b ^{p}}{( \frac{1}{b} ) ^{p} + ( \frac{1}{a} ) ^{q}}}$
$a^{q} b^{p} ((a^{\frac{1}{q} - \frac{1}{p}} b^{\frac{1}{p} - \frac{1}{q}})^{p})^{q}$

Existe-t-il un triangle rectangle d’aire

A = 7

et de périmètre

P = 12

Résoudre dans

R

$\frac{2 x}{x + 1} = \frac{2 x - 1}{x}$
$x^{2} - x - 12 = 0$
$2 x^{2} + 4 x + 1 = 0$
$x^{4} - 3 x^{2} + 2 = 0$
$3 ∣ x - 4∣ = 10$
$\frac{2 x}{4 - x} = 3 4 - x$
$(x + 1) (x + 6) = 1$
$∣ x - 1∣ - 3 = 1$

Résoudre chaque inégalité, et exprimer son ensemble solution sous forme d’intervalles.

$- 4 < 5 - 3 x ⩽ 17$
$x^{2} < 2 x + 8$
$x (x - 1) (x + 2) > 0$
$∣ x - 4∣ < 3$
$\frac{2 x - 3}{x + 1} ⩽ 1$
$∣ x^{2} - 1∣ ⩽ 1$

Compléter le carré dans les expressions suivantes:

$x^{2} + x + 1$
$2 x^{2} - 12 x + 11$

Résoudre chacune des inéquations ci-dessous:

$x + 6 ⩽ x$
$(x + 6)^{2} ⩽ x^{2}$
$(x + 6)^{2} ⩽ x^{2}$

Effectuer les conversions suivantes:

De radians en degrés: $α = \frac{5 π}{6}$ rad, $β = 2$ rad.
De degrés en radians: $μ = 30 0^{\circ}$ , $ν = - 1 8^{\circ}$ .

Calculer la longueur de l’arc d’un cercle de

12

centimètres de rayon sous-tendu par un angle au centre de

3 0^{\circ}

Dans le triangle ci-dessous, exprimer

a

b

en termes de

θ

Associer une valeur exacte à chacune des expressions suivantes.

$sin (\frac{7 π}{6})$
$cos (\frac{7 π}{4})$
$tan (\frac{π}{3})$
$2 cos (\frac{π}{8})$

Calculer

sin (x + y)

, sachant que

sin (x) = \frac{1}{3}

cos (y) = \frac{4}{5}

, et que

0 < x, y < \frac{π}{2}

Démontrer les identités suivantes.

$tan (θ) sin (θ) + cos (θ) = \frac{1}{c o s ( θ )}$
$\frac{2 t a n ( x )}{1 + t a n ( x ) ^{2}} = sin (2 x)$
$cos (α) cos (β) = \frac{1}{2} (cos (α + β) + cos (α - β))$

La figure ci-dessous montre le graphe d’une fonction

f

Que vaut $f (- 1)$ ?
Que vaut $f (2)$ ?
Pour quelle(s) valeur(s) de $x$ a-t-on $f (x) = 2$ ?
Pour quelle(s) valeur(s) de $x$ a-t-on $f (x) = 0$ ?
Déterminer le domaine de définition et l’ensemble image de $f$ .

Déterminer le domaine de définition des fonctions ci-dessous

$f (x) = \frac{2 x + 1}{x ^{2} + x - 2}$
$g (x) = \frac{x ^{1/3}}{x ^{2} + 1}$
$h (x) = 4 - x + x^{2} - 1$
$i (x) = \frac{1}{∣ x ∣ + x}$

Esquisser à la main (sans l’aide d’une calculatrice) les graphes suivants.

$y = x^{3}$
$y = (x + 1)^{3}$
$y = (x - 2)^{3} + 3$
$y = 4 - x^{2}$
$y = x$
$y = 2 x$
$y = - 2^{x}$
$y = 1 + x^{- 1}$

Soit

f (x) = {1 - x^{2}, 2 x + 1, si x ⩽ 0, si x > 0 .

Calculer

f (- 2)

f (1)

, puis esquisser le graphe de

f

Soient

f (x) = x^{2} + 2 x - 1

g (x) = 2 x - 3

. Exprimer explicitement chacune des fonctions suivantes.

$f \circ g$
$g \circ f$
$g \circ g \circ g$

Soit

a, b > 0

p, q \in R

. Simplifier les expressions suivantes.

$exp (p lo g (a) + q lo g (b))$
$exp (p (lo g (a) - lo g (b)) + lo g (b) (p + q))$
$exp (p lo g (a b^{- 1}) + lo g (b^{p + q}))$
$exp (q lo g (\frac{b}{a}) + lo g (a^{q}) + p lo g (a))$

Pour chaque fonction

f

définie sur l’intervalle

I

, trouver le domaine de définition de la fonction réciproque

f^{- 1}

et esquisser les graphes de

f

f^{- 1}

. Rem.: Tous les domaines

I

sont choisis en sorte que la fonction réciproque existe.

$f (x) = sin (x)$ sur $I = [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$
$f (x) = cos (x)$ sur $I = [0, π]$
$f (x) = tan (x)$ sur $I =] - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} [$
$f (x) = e^{x}$ sur $I = R$

Simplifier les expressions ci-dessous.

$cos (2 arccos x)$
$cos (2 arcsin x)$
$sin (2 arccos x)$
$cos (2 arctan x)$
$sin (2 arctan x)$
$tan (2 arcsin x)$

Déterminer les ensembles de définition des fonctions suivantes.

$arccos x - arcsin x$
$arccos (2 x)$
$tan (arcsin x)$
$arccos (\frac{2 - x ^{2}}{1 + x ^{2}})$

Définition 1.1.

La valeur absolue de

x \in R

est définie par

∣ x ∣ := ⎩ ⎨ ⎧ x 0 - x si x > 0, si x = 0, si x < 0 .

Exemple 1.3.

Puisque $\frac{7}{8} > 0$ , on a $∣ \frac{7}{8} ∣ = \frac{7}{8}$ .
Puisque $- 3 < 0$ , on a $∣ - 3∣ = - (- 3) = 3$ .

Les propriétés suivantes suivent de la définition: pour tous

x, y \in R

$∣ x ∣ ⩾ 0$
$∣ - x ∣ = ∣ x ∣$
$∣ x ∣ = 0$ si et seulement si $x = 0$
$- ∣ x ∣ ⩽ x ⩽ ∣ x ∣$
Si $a ⩾ 0$ , alors $∣ x ∣ ⩽ a$ si et seulement si $- a ⩽ x ⩽ + a$ .
$∣ x \cdot y ∣ = ∣ x ∣ \cdot ∣ y ∣$
Si $y \neq = 0$ , $∣ \frac{x}{y} ∣ = \frac{∣ x ∣}{∣ y ∣}$ .
Si on divise un réel non-nul $x$ par sa valeur absolue, on obtient son signe: $\frac{x}{∣ x ∣} = {+ 1 - 1 si x > 0, si x < 0 .$

Proposition 1.1.

(Inégalité triangulaire) Pour tous

x, y \in R

∣ x + y ∣ ⩽ ∣ x ∣ + ∣ y ∣ .

L’inégalité triangulaire sera utilisée très souvent lorsqu’on aura besoin d’estimer des sommes de réels. Plus précisément, considérons la somme de deux nombres

x

y

, que l’on sait être “petits” dans le sens où on a trouvé un

ε > 0

tel que

∣ x ∣ ⩽ ε

∣ y ∣ ⩽ ε

. (Remarquons que ceci n’implique rien sur les signes des nombres

x

y

.) Alors, l’inégalité triangulaire permet de garantir que

∣ x + y ∣ ⩽ ∣ x ∣ + ∣ y ∣ ⩽ ε + ε = 2 ε,

et donc

- 2 ε ⩽ x + y ⩽ 2 ε .

Remarque 1.2.

On peut utiliser la valeur absolue pour caractériser le nombre “zéro”: c’est l’unique nombre dont la valeur absolue est plus petite que tout nombre positif:

x = 0 ⟺ ∣ x ∣ = 0 ⟺ ∣ x ∣ ⩽ ε \forall ε > 0 .

1.5.1 Distance

La valeur absolue permet de mesurer la proximité de deux réels

x, y, \in R

, en définissant leur distance:

dist (x, y) := ∣ x - y ∣ .

Lemme 1.2.

(Propriétés de la distance)

$dist (x, y) ⩾ 0$ pour tous $x, y \in R$ . De plus, $dist (x, y) = 0$ si et seulement si $x = y$ .
$dist (x, y) = dist (y, x)$ pour tous $x, y \in R$
Pour tous $x, y, z \in R$ , $dist (x, y) ⩽ dist (x, z) + dist (z, y) .$

Proof

Les deux premières affirmations suivent directement des propriétés de la valeur absolue. Pour la troisième, on insère

- z + z = 0

, et on utilise l’inégalité triangulaire:

dist (x, y) = ∣ x - y ∣ = ∣ (x - z) + (z - y) ∣ ⩽ ∣ x - z ∣ + ∣ z - y ∣ = dist (x, z) + dist (z, y) .

Remarque: En géométrie Euclidienne, l’inégalité triangulaire dit que le chemin direct allant d’un point

A

à un point

B

est plus court que tout autre chemin (rectiligne) passant par un point intermédiaire

C

dist (A, B) ⩽ dist (A, C) + dist (C, B) .

□

On utilisera souvent les équivalences suivantes:

dist (x, a) ⩽ ε ⟺ ∣ x - a ∣ ⩽ ε ⟺ a - ε ⩽ x ⩽ a + ε ⟺ x \in [a - ε, a + ε]

Quiz 1.5.1.Soit

a > 0

Quiz 1.5.2.Vrai ou faux?

Quiz 1.5.3.Vrai ou faux?

Analyse I / GM

Série 00 (Notions élémentaires)

Ex-00-01

Ex-00-02

Ex-00-03

Ex-00-04

Ex-00-05

Ex-00-06

Ex-00-07

Ex-00-08

Ex-00-09

Ex-00-10

Ex-00-11

Ex-00-12

Ex-00-13

Ex-00-14

Ex-00-15

Ex-00-16

Ex-00-17

Ex-00-18

Ex-00-19

Ex-00-20

Ex-00-21

Ex-00-22

Ex-00-23

Ex-00-24

Ex-00-25

1.5 Valeur absolue et distance

1.5.1 Distance