Série 00 (Notions élémentaires)

Ex-00-01

Factoriser chaque expression.

$4 x^{2} - 25$
$2 x^{2} + 5 x - 12$
$x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 12$
$x^{2} + 27 x$
$3 x^{3/2} - 9 x^{1/2} + 6 x^{- 1/2}$
$x^{3} y - 4 x y$

Ex-00-02

Simplifier les expressions rationnelles suivantes.

$\frac{x ^{2} + 3 x + 2}{x ^{2} - x - 2}$
$\frac{2 x ^{2} - x - 1}{x ^{2} - 9} \cdot \frac{x + 3}{2 x + 1}$
$\frac{x ^{2}}{x ^{2} - 4} - \frac{x + 1}{x + 2}$
$\frac{\frac{y}{x} - \frac{x}{y}}{\frac{1}{y} - \frac{1}{x}}$

Ex-00-03

Dans chaque cas, effectuer la division polynomiale de

P (x)

par

Q (x)

. S’il y a un reste, le donner explicitement.

$P (x) = x^{2} + 5 x - 6$ , $Q (x) = x - 1$
$P (x) = x^{3} + 1$ , $Q (x) = x + 1$
$P (x) = x^{5} - 5 x^{2} - x + 3$ , $Q (x) = x^{2} + 1$
$P (x) = x + 1$ , $Q (x) = x^{2} + 1$

Ex-00-04

Rendre le dénominateur rationnel et simplifier.

$\frac{10}{5 - 2}$
$\frac{h}{9 + h + 3}$

Ex-00-05

Simplifier les expressions, où

a, b > 0

p, q \in R^{*}

$(ab)^{p} b^{q - p}$
$\frac{a ^{p}}{b ^{- q}}$
$\frac{b ^{q}}{a ^{- p}}$
$(a b^{\frac{q}{p}})^{p}$
$(a^{\frac{p}{q}} b)^{q}$
$(a^{\frac{1}{q}} b^{\frac{1}{p}})^{pq}$
$a^{2 p} b^{q}$
$((\frac{1}{a})^{q} + (\frac{1}{b})^{p}) \frac{a ^{p} ( ab ) ^{q}}{1 + \frac{a ^{q}}{b ^{p}}}$
$a^{q} b^{p} \frac{\frac{a ^{p} + b ^{q}}{( \frac{1}{a} ) ^{p} + ( \frac{1}{b} ) ^{q}}}{\frac{a ^{q} + b ^{p}}{( \frac{1}{b} ) ^{p} + ( \frac{1}{a} ) ^{q}}}$
$a^{q} b^{p} ((a^{\frac{1}{q} - \frac{1}{p}} b^{\frac{1}{p} - \frac{1}{q}})^{p})^{q}$

Ex-00-06

Existe-t-il un triangle rectangle d’aire

A = 7

et de périmètre

P = 12

Ex-00-07

Résoudre dans

R

$\frac{2 x}{x + 1} = \frac{2 x - 1}{x}$
$x^{2} - x - 12 = 0$
$2 x^{2} + 4 x + 1 = 0$
$x^{4} - 3 x^{2} + 2 = 0$
$3 ∣ x - 4∣ = 10$
$\frac{2 x}{4 - x} = 3 4 - x$
$(x + 1) (x + 6) = 1$
$∣ x - 1∣ - 3 = 1$

Ex-00-08

Résoudre chaque inégalité, et exprimer son ensemble solution sous forme d’intervalles.

$- 4 < 5 - 3 x ⩽ 17$
$x^{2} < 2 x + 8$
$x (x - 1) (x + 2) > 0$
$∣ x - 4∣ < 3$
$\frac{2 x - 3}{x + 1} ⩽ 1$
$∣ x^{2} - 1∣ ⩽ 1$

Ex-00-09

Compléter le carré dans les expressions suivantes:

$x^{2} + x + 1$
$2 x^{2} - 12 x + 11$

Ex-00-10

Résoudre chacune des inéquations ci-dessous:

$x + 6 ⩽ x$
$(x + 6)^{2} ⩽ x^{2}$
$(x + 6)^{2} ⩽ x^{2}$

Ex-00-11

Effectuer les conversions suivantes:

De radians en degrés: $α = \frac{5 π}{6}$ rad, $β = 2$ rad.
De degrés en radians: $μ = 30 0^{\circ}$ , $ν = - 1 8^{\circ}$ .

Ex-00-12

Calculer la longueur de l’arc d’un cercle de

12

centimètres de rayon sous-tendu par un angle au centre de

3 0^{\circ}

Ex-00-13

Dans le triangle ci-dessous, exprimer

a

b

en termes de

θ

Ex-00-14

Associer une valeur exacte à chacune des expressions suivantes.

$sin (\frac{7 π}{6})$
$cos (\frac{7 π}{4})$
$tan (\frac{π}{3})$
$2 cos (\frac{π}{8})$

Ex-00-15

Calculer

sin (x + y)

, sachant que

sin (x) = \frac{1}{3}

cos (y) = \frac{4}{5}

, et que

0 < x, y < \frac{π}{2}

Ex-00-16

Démontrer les identités suivantes.

$tan (θ) sin (θ) + cos (θ) = \frac{1}{c o s ( θ )}$
$\frac{2 t a n ( x )}{1 + t a n ( x ) ^{2}} = sin (2 x)$
$cos (α) cos (β) = \frac{1}{2} (cos (α + β) + cos (α - β))$

Ex-00-17

La figure ci-dessous montre le graphe d’une fonction

f

Que vaut $f (- 1)$ ?
Que vaut $f (2)$ ?
Pour quelle(s) valeur(s) de $x$ a-t-on $f (x) = 2$ ?
Pour quelle(s) valeur(s) de $x$ a-t-on $f (x) = 0$ ?
Déterminer le domaine de définition et l’ensemble image de $f$ .

Ex-00-18

Déterminer le domaine de définition des fonctions ci-dessous

$f (x) = \frac{2 x + 1}{x ^{2} + x - 2}$
$g (x) = \frac{x ^{1/3}}{x ^{2} + 1}$
$h (x) = 4 - x + x^{2} - 1$
$i (x) = \frac{1}{∣ x ∣ + x}$

Ex-00-19

Esquisser à la main (sans l’aide d’une calculatrice) les graphes suivants.

$y = x^{3}$
$y = (x + 1)^{3}$
$y = (x - 2)^{3} + 3$
$y = 4 - x^{2}$
$y = x$
$y = 2 x$
$y = - 2^{x}$
$y = 1 + x^{- 1}$

Ex-00-20

Soit

f (x) = {1 - x^{2}, 2 x + 1, si x ⩽ 0, si x > 0 .

Calculer

f (- 2)

f (1)

, puis esquisser le graphe de

f

Ex-00-21

Soient

f (x) = x^{2} + 2 x - 1

g (x) = 2 x - 3

. Exprimer explicitement chacune des fonctions suivantes.

$f \circ g$
$g \circ f$
$g \circ g \circ g$

Ex-00-22

Soit

a, b > 0

p, q \in R

. Simplifier les expressions suivantes.

$exp (p lo g (a) + q lo g (b))$
$exp (p (lo g (a) - lo g (b)) + lo g (b) (p + q))$
$exp (p lo g (a b^{- 1}) + lo g (b^{p + q}))$
$exp (q lo g (\frac{b}{a}) + lo g (a^{q}) + p lo g (a))$

Ex-00-23

Pour chaque fonction

f

définie sur l’intervalle

I

, trouver le domaine de définition de la fonction réciproque

f^{- 1}

et esquisser les graphes de

f

f^{- 1}

. Rem.: Tous les domaines

I

sont choisis en sorte que la fonction réciproque existe.

$f (x) = sin (x)$ sur $I = [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$
$f (x) = cos (x)$ sur $I = [0, π]$
$f (x) = tan (x)$ sur $I =] - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} [$
$f (x) = e^{x}$ sur $I = R$

Ex-00-24

Simplifier les expressions ci-dessous.

$cos (2 arccos x)$
$cos (2 arcsin x)$
$sin (2 arccos x)$
$cos (2 arctan x)$
$sin (2 arctan x)$
$tan (2 arcsin x)$

Ex-00-25

Déterminer les ensembles de définition des fonctions suivantes.

$arccos x - arcsin x$
$arccos (2 x)$
$tan (arcsin x)$
$arccos (\frac{2 - x ^{2}}{1 + x ^{2}})$

1.3 Ordre: $⩽, ⩾, <, >$

La deuxième caractéristique de l’ensemble des nombres réels est que deux réels

x, y

peuvent toujours être comparés. Si ils sont égaux,

x = y

, il n’y a pas lieu de les comparer, mais si ils sont distincts,

x \neq = y

, alors il y en a nécessairement un qui est plus petit que l’autre:

Si $x$ est plus petit que $y$ , on note $x < y$ .
Si $x$ est plus grand que $y$ , on note $x > y$ .

Le fait que l’on puisse ainsi comparer n’importe quelle paire de réels distincts représente ce qu’on appelle un ordre total.
L’ordre total représente l’intuition que nous avons pour la position relative de deux points sur une droite.

x < y

: “

x

est à gauche de

y

”,

x > y

: “

x

est à droite de

y

”,

Lorsqu’on veut comparer deux réels sans forcément se préoccuper de savoir s’ils sont distincts:

Si $x$ est plus petit ou égal à $y$ , on note $x ⩽ y$ .
Si $x$ est plus grand ou égal à $y$ , on note $x ⩾ y$ .

Exemple 1.1.

Toutes les inégalités ci-dessous sont vraies:

0 < \frac{1}{2} ⩽ 1, 1 ⩾ 1, 3 < π < 4 ⩽ 4.1 .

Par contre, les suivantes sont fausses:

0 > 0, - 1 < - 2, 0.99999 \dots < 1 .

Énonçons les propriétés des relations “

⩽, ⩾, <, >

”:

Pour toute paire $x, y \in R$ , on a soit $x ⩽ y$ , soit $y ⩽ x$ . Si on a à la fois $x ⩽ y$ et $y ⩽ x$ , alors $x = y$ .
$x ⩽ x$ pour tout $x \in R$ .
Si $x ⩽ y$ et $y ⩽ z$ , alors $x ⩽ z$ .
Si $x ⩽ y$ , alors $x + z ⩽ y + z$ pour tout $z \in R$ .
Si $0 ⩽ x$ et $0 ⩽ y$ , alors $0 ⩽ x \cdot y$

Informel 1.1.La troisième propriété est constamment utilisées en analyse. En effet, pour montrer qu’un nombre

x

est plus petit ou égal à un nombre

z

, on passera souvent par l’utilisation d’un réel intermédiaire

y

, et on vérifiera les deux relations “

x ⩽ y

”, “

y ⩽ z

”, qui ensemble garantissent que

x ⩽ z

D’autres propriétés peuvent être obtenues à partir des propriétés de base.

Exemple 1.2.

Montrons que si

x ⩽ y

s ⩽ t

, alors

x + s ⩽ y + t

. En effet, par la propriété 4.,

x ⩽ y

implique

x + s ⩽ y + s

. Mais, encore une fois par la propriété 4.,

s ⩽ t