Série 00 (Notions élémentaires)

Ex-00-01

Factoriser chaque expression.

$4 x^{2} - 25$
$2 x^{2} + 5 x - 12$
$x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 12$
$x^{2} + 27 x$
$3 x^{3/2} - 9 x^{1/2} + 6 x^{- 1/2}$
$x^{3} y - 4 x y$

Ex-00-02

Simplifier les expressions rationnelles suivantes.

$\frac{x ^{2} + 3 x + 2}{x ^{2} - x - 2}$
$\frac{2 x ^{2} - x - 1}{x ^{2} - 9} \cdot \frac{x + 3}{2 x + 1}$
$\frac{x ^{2}}{x ^{2} - 4} - \frac{x + 1}{x + 2}$
$\frac{\frac{y}{x} - \frac{x}{y}}{\frac{1}{y} - \frac{1}{x}}$

Ex-00-03

Dans chaque cas, effectuer la division polynomiale de

P (x)

par

Q (x)

. S’il y a un reste, le donner explicitement.

$P (x) = x^{2} + 5 x - 6$ , $Q (x) = x - 1$
$P (x) = x^{3} + 1$ , $Q (x) = x + 1$
$P (x) = x^{5} - 5 x^{2} - x + 3$ , $Q (x) = x^{2} + 1$
$P (x) = x + 1$ , $Q (x) = x^{2} + 1$

Ex-00-04

Rendre le dénominateur rationnel et simplifier.

$\frac{10}{5 - 2}$
$\frac{h}{9 + h + 3}$

Ex-00-05

Simplifier les expressions, où

a, b > 0

p, q \in R^{*}

$(ab)^{p} b^{q - p}$
$\frac{a ^{p}}{b ^{- q}}$
$\frac{b ^{q}}{a ^{- p}}$
$(a b^{\frac{q}{p}})^{p}$
$(a^{\frac{p}{q}} b)^{q}$
$(a^{\frac{1}{q}} b^{\frac{1}{p}})^{pq}$
$a^{2 p} b^{q}$
$((\frac{1}{a})^{q} + (\frac{1}{b})^{p}) \frac{a ^{p} ( ab ) ^{q}}{1 + \frac{a ^{q}}{b ^{p}}}$
$a^{q} b^{p} \frac{\frac{a ^{p} + b ^{q}}{( \frac{1}{a} ) ^{p} + ( \frac{1}{b} ) ^{q}}}{\frac{a ^{q} + b ^{p}}{( \frac{1}{b} ) ^{p} + ( \frac{1}{a} ) ^{q}}}$
$a^{q} b^{p} ((a^{\frac{1}{q} - \frac{1}{p}} b^{\frac{1}{p} - \frac{1}{q}})^{p})^{q}$

Ex-00-06

Existe-t-il un triangle rectangle d’aire

A = 7

et de périmètre

P = 12

Ex-00-07

Résoudre dans

R

$\frac{2 x}{x + 1} = \frac{2 x - 1}{x}$
$x^{2} - x - 12 = 0$
$2 x^{2} + 4 x + 1 = 0$
$x^{4} - 3 x^{2} + 2 = 0$
$3 ∣ x - 4∣ = 10$
$\frac{2 x}{4 - x} = 3 4 - x$
$(x + 1) (x + 6) = 1$
$∣ x - 1∣ - 3 = 1$

Ex-00-08

Résoudre chaque inégalité, et exprimer son ensemble solution sous forme d’intervalles.

$- 4 < 5 - 3 x ⩽ 17$
$x^{2} < 2 x + 8$
$x (x - 1) (x + 2) > 0$
$∣ x - 4∣ < 3$
$\frac{2 x - 3}{x + 1} ⩽ 1$
$∣ x^{2} - 1∣ ⩽ 1$

Ex-00-09

Compléter le carré dans les expressions suivantes:

$x^{2} + x + 1$
$2 x^{2} - 12 x + 11$

Ex-00-10

Résoudre chacune des inéquations ci-dessous:

$x + 6 ⩽ x$
$(x + 6)^{2} ⩽ x^{2}$
$(x + 6)^{2} ⩽ x^{2}$

Ex-00-11

Effectuer les conversions suivantes:

De radians en degrés: $α = \frac{5 π}{6}$ rad, $β = 2$ rad.
De degrés en radians: $μ = 30 0^{\circ}$ , $ν = - 1 8^{\circ}$ .

Ex-00-12

Calculer la longueur de l’arc d’un cercle de

12

centimètres de rayon sous-tendu par un angle au centre de

3 0^{\circ}

Ex-00-13

Dans le triangle ci-dessous, exprimer

a

b

en termes de

θ

Ex-00-14

Associer une valeur exacte à chacune des expressions suivantes.

$sin (\frac{7 π}{6})$
$cos (\frac{7 π}{4})$
$tan (\frac{π}{3})$
$2 cos (\frac{π}{8})$

Ex-00-15

Calculer

sin (x + y)

, sachant que

sin (x) = \frac{1}{3}

cos (y) = \frac{4}{5}

, et que

0 < x, y < \frac{π}{2}

Ex-00-16

Démontrer les identités suivantes.

$tan (θ) sin (θ) + cos (θ) = \frac{1}{c o s ( θ )}$
$\frac{2 t a n ( x )}{1 + t a n ( x ) ^{2}} = sin (2 x)$
$cos (α) cos (β) = \frac{1}{2} (cos (α + β) + cos (α - β))$

Ex-00-17

La figure ci-dessous montre le graphe d’une fonction

f

Que vaut $f (- 1)$ ?
Que vaut $f (2)$ ?
Pour quelle(s) valeur(s) de $x$ a-t-on $f (x) = 2$ ?
Pour quelle(s) valeur(s) de $x$ a-t-on $f (x) = 0$ ?
Déterminer le domaine de définition et l’ensemble image de $f$ .

Ex-00-18

Déterminer le domaine de définition des fonctions ci-dessous

$f (x) = \frac{2 x + 1}{x ^{2} + x - 2}$
$g (x) = \frac{x ^{1/3}}{x ^{2} + 1}$
$h (x) = 4 - x + x^{2} - 1$
$i (x) = \frac{1}{∣ x ∣ + x}$

Ex-00-19

Esquisser à la main (sans l’aide d’une calculatrice) les graphes suivants.

$y = x^{3}$
$y = (x + 1)^{3}$
$y = (x - 2)^{3} + 3$
$y = 4 - x^{2}$
$y = x$
$y = 2 x$
$y = - 2^{x}$
$y = 1 + x^{- 1}$

Ex-00-20

Soit

f (x) = {1 - x^{2}, 2 x + 1, si x ⩽ 0, si x > 0 .

Calculer

f (- 2)

f (1)

, puis esquisser le graphe de

f

Ex-00-21

Soient

f (x) = x^{2} + 2 x - 1

g (x) = 2 x - 3

. Exprimer explicitement chacune des fonctions suivantes.

$f \circ g$
$g \circ f$
$g \circ g \circ g$

Ex-00-22

Soit

a, b > 0

p, q \in R

. Simplifier les expressions suivantes.

$exp (p lo g (a) + q lo g (b))$
$exp (p (lo g (a) - lo g (b)) + lo g (b) (p + q))$
$exp (p lo g (a b^{- 1}) + lo g (b^{p + q}))$
$exp (q lo g (\frac{b}{a}) + lo g (a^{q}) + p lo g (a))$

Ex-00-23

Pour chaque fonction

f

définie sur l’intervalle

I

, trouver le domaine de définition de la fonction réciproque

f^{- 1}

et esquisser les graphes de

f

f^{- 1}

. Rem.: Tous les domaines

I

sont choisis en sorte que la fonction réciproque existe.

$f (x) = sin (x)$ sur $I = [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$
$f (x) = cos (x)$ sur $I = [0, π]$
$f (x) = tan (x)$ sur $I =] - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} [$
$f (x) = e^{x}$ sur $I = R$

Ex-00-24

Simplifier les expressions ci-dessous.

$cos (2 arccos x)$
$cos (2 arcsin x)$
$sin (2 arccos x)$
$cos (2 arctan x)$
$sin (2 arctan x)$
$tan (2 arcsin x)$

Ex-00-25

Déterminer les ensembles de définition des fonctions suivantes.

$arccos x - arcsin x$
$arccos (2 x)$
$tan (arcsin x)$
$arccos (\frac{2 - x ^{2}}{1 + x ^{2}})$

1.4 Intervalles

Avant de compléter la définition de

R

, utilisons les relations d’ordre,

⩽, <, >, ⩾

, pour introduire certains sous-ensembles particuliers de

R

appelés intervalles.

Soient

a, b \in R

a < b

. On définit les intervalles bornés:

[a, b]] a, b [[a, b [] a, b] := {x \in R : a ⩽ x ⩽ b}, := {x \in R : a < x < b}, := {x \in R : a ⩽ x < b}, := {x \in R : a < x ⩽ b},

On dit que

] a, b [

est ouvert, et que

[a, b]

est fermé. (On reviendra plus loin sur les notions d’ensemble borné/ouvert/fermé, qui sont générales et ne s’appliquent pas uniquement aux intervalles.) Pour représenter ces intervalles graphiquement, on utilisera une boule pleine pour indiquer que l’extrémité de l’intervalle est inclue, et vide pour indiquer que l’extrémité est exclue. Donc on représente

[a, b [

comme suit:

Ensuite, introduisons les intervalles non-bornés:

[a, + \infty [] a, + \infty [] - \infty, b]] - \infty, b [:= {x \in R : x ⩾ a}, := {x \in R : x > a}, := {x \in R : x ⩽ b}, := {x \in R : x < b} .

On définit en particulier les ensembles des réels positifs et strictement positifs, ainsi que les ensembles des réels négatifs et strictement négatifs,