Analyse I / GM
Botafogo Assistant.e.s et salles d’exercices
La “Série n” et tous ses exercices sera disponible dans la colonne de gauche, en début de semaine, et les assistants l’auront préparée pour la séance du mercredi. Si vous la commencez avant, utilisez la plateforme pour poser des questions. Avec leurs réponses, les autres en profiteront et avanceront plus facilement!
Séance d’exercices du mercredi
La séance d’exercices aura lieu le mercredi matin, de 10h15 à 12h. Ci-dessous, la répartition dans les salles, en fonction de votre nom de famille (comme trouvé sur ISA).
Pour des raisons logistiques évidentes, merci de respecter cette répartition!
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1.3 Ordre: ⩽,⩾,<,>
La deuxième caractéristique de l’ensemble des nombres réels est que deux réels x,y peuvent toujours être comparés. Si ils sont égaux, x=y, il n’y a pas lieu de les comparer, mais si ils sont distincts, x=y, alors il y en a nécessairement un qui est plus petit que l’autre:
Le fait que l’on puisse ainsi comparer n’importe quelle paire de réels distincts représente ce qu’on appelle un ordre total.
L’ordre total représente l’intuition que nous avons pour la position relative de deux points sur une droite. x<y: “x est à gauche de y”, x>y: “x est à droite de y”,
- Si x est plus petit que y, on note x<y.
- Si x est plus grand que y, on note x>y.
Le fait que l’on puisse ainsi comparer n’importe quelle paire de réels distincts représente ce qu’on appelle un ordre total.
L’ordre total représente l’intuition que nous avons pour la position relative de deux points sur une droite. x<y: “x est à gauche de y”, x>y: “x est à droite de y”,
Lorsqu’on veut comparer deux réels sans forcément se préoccuper de savoir s’ils sont distincts:
- Si x est plus petit ou égal à y, on note x⩽y.
- Si x est plus grand ou égal à y, on note x⩾y.
Exemple 1.1.
Toutes les inégalités ci-dessous sont vraies: 0<21⩽1,1⩾1,3<π<4⩽4.1. Par contre, les suivantes sont fausses: 0>0,−1<−2,0.99999⋯<1.
Énonçons les propriétés des relations “⩽,⩾,<,>”:
- Pour toute paire x,y∈R, on a soit x⩽y, soit y⩽x. Si on a à la fois x⩽y et y⩽x, alors x=y.
- x⩽x pour tout x∈R.
- Si x⩽y et y⩽z, alors x⩽z.
- Si x⩽y, alors x+z⩽y+z pour tout z∈R.
- Si 0⩽x et 0⩽y, alors 0⩽x⋅y
Informel 1.1.La troisième propriété est constamment utilisées en analyse. En effet, pour montrer qu’un nombre x est plus petit ou égal à un nombre z, on passera souvent par l’utilisation d’un réel intermédiaire y, et on vérifiera les deux relations “x⩽y”, “y⩽z”, qui ensemble garantissent que x⩽z.
D’autres propriétés peuvent être obtenues à partir des propriétés de base.
Exemple 1.2.
Montrons que si x⩽y et s⩽t, alors x+s⩽y+t. En effet, par la propriété 4., x⩽y implique x+s⩽y+s. Mais, encore une fois par la propriété 4., s⩽t implique y+s=s+y⩽t+y=y+t. On a donc x+s⩽y+s et y+s⩽y+t, ce qui donne, par la propriété 3.: x+s⩽y+t.
1.3.1 Signe
Un réel x∈R est dit
- positif (resp. strictement positif) si x⩾0 (resp. x>0),
- négatif (resp. strictement négatif) si x⩽0 (resp. x<0).
Quiz 1.3.1.(Ordre total sur R.) Vrai ou faux?
Quiz 1.3.2.Vrai ou faux?
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