À propos des exercices et quiz

“Practice, note innate talent, is what makes the difference in exceptional human achievment. ”

Malcolm Gladwell

Sur les exercices

Les exercices jouent un rôle central dans l’apprentissage d’une matière, puisqu’ils représentent le moment où on doit résoudre un problème à l’aide de ce qui a été étudié dans le cours.

Face à un nouvel exercice, la première chose à faire est de comprendre son énoncé. Donc il s’agira de lire l’énoncé, plusieurs fois si nécessaire, pour être sûr que vous comprenez tous les termes qu’il contient, et que vous voyiez ce qu’on vous demande. Si nécessaire, reprenez les définitions du cours.

Les exercices ne sont pas juste des “choses à calculer”: beaucoup sont théoriques et demandent de maîtriser les définitions et les résultats du cours. Donc il ne sert à rien de se lancer dans un calcul si on n’a pas compris la moitié des termes utilisés dans l’énoncé.

Vous avez plusieurs moyens d’avancer dans la résolution des problèmes. Il y a les assistant.es à la séance d’exercices bien sûr, il y a l’aide que vous trouvez en discutant avec vos collègues de travail, mais aussi d’autres outils en ligne, faits pour vous aider à avancer individuellement:

Certains exercices sont accompagnés d’indications (vous ne les voyez que si vous accédez aux exercices en ligne, ces indications ne sont pas sur le pdf), en accédant à l’onglet “Indications”; celles-ci fournissent des indices dont le but est d’arriver à faire un premier pas dans la résolution.
Vous avez la possibilité de poser des questions sur cet exercice, que ce soit avant, pendant, ou après la séance d’exercices, en ouvrant l’onglet “Forum”. Avant de poser une question, vérifiez si elle n’a pas déjà été posée par quelqu’un d’autre! Un autre étudiant, un assistant ou moi-même y aura probablement déjà répondu. Vous pouvez aussi commenter ou “liker” les questions/réponses des autres.
Faites bon usage du forum associé à un exercice: s’y rendre trop tôt pour chercher de l’aide risque de vous faire obtenir des informations que vous auriez peut-être obtenu tout-e seul-e en réfléchissant un peu. Un peu comme aller regarder la solution d’un exercice avant d’avoir essayé tout-e seul-e...

“A good course is a course with many stupid questions. ”

Wendelin Werner,Rio de Janeiro, 2008

Ne pensez pas que vous êtes sensés arriver à faire tous les exercices facilement, en compilant directement ce qui a été dans le cours. Il est normal de ne pas arriver à faire un exercice tout de suite sans fautes: ça fait partie intégrante de l’apprentissage!

Les solutions seront disponibles peu après la séance d’exercices. Alors soyons clairs: lire la solution d’un problème sans avoir essayé de le faire avant, c’est comme si on n’avait RIEN fait. Vous pouvez lire et relire la solution d’un exercice, vous dire que vous l’avez “comprise”, peut-être même la reproduire sans faute; ça ne veut pas du tout dire que vous serez capable de résoudre un autre exercice du même genre.

Il faut savoir que le processus d’apprentissage par lequel on passe, lorsqu’on sèche sur un problème, est utile pour une multitude d’autres choses, en plus de l’exercice lui-même...

Sur les quiz

Des quiz apparaissent à la fin de pratiquement toutes les sections du polycopié.

Le but d’un quiz est de vous permettre de voir si vous avez compris la matière qui vient de vous être présentée, en vous posant simplement une suite de questions du type “Vrai ou Faux”? En général, on peut y répondre sans faire aucun calcul.

Il est essentiel de tous les faire. Relisez le cours, lisez les questions qu’on vous pose, réfléchissez, choisissez vos réponses, puis checkez en appuyant sur “Réponses”. Les quiz vous fournissent un moyen de vous auto-évaluer, ne manquez pas cette occasion!

Dans un quiz, répondre “Vrai” signifie que l’on doit pouvoir donner une petite justification à l’aide de ce qui a été présenté dans le cours. Répondre “Faux” doit pouvoir s’accompagner d’un contre-exemple. Par exemple, pour démontrer que l’affirmation “toute fonction continue est dérivable” est fausse, on peut donner le contre-exemple de la fonction

f (x) = ∣ x ∣

, qui est continue partout mais pas dérivable en

x_{0} = 0

Parfois, trouver un contre-exemple peut être plus difficile. L’affirmation “Toute fonction continue est dérivable en au moins un point” est aussi fausse, mais exhiber un contre-exemple requiert un certain travail...

Revenons à la question posée précédemment: si l’équation

x^{2} = 2

ne possède pas de solution dans

Q

, en possède-t-elle une dans

R

Montrer qu’il existe effectivement un

x \in R

tel que

x^{2} = 2

, “directement” est trop difficile. On fait donc un petit détour, en commençant par définir l’ensemble

A := {x \in R_{+} : x^{2} < 2} .

Remarquons que par exemple

0 \in A

, ou encore

1 \in A

, et donc

A

n’est pas vide.

Lemme 1.3.

A

n’a pas d’élément maximal.

Proof

Il s’agit de montrer que pour tout élément

x \in A

, il existe toujours un

x^{'} \in A

qui est strictement plus grand que

x

.
Cherchons un

x^{'}

de la forme

x^{'} = x + \frac{1}{n}

, avec

n \in N^{*}

. Dans ce cas,

x^{' 2} = (x + \frac{1}{n})^{2} = x^{2} + \frac{2 x}{n} + \frac{1}{n ^{2}} .

Puisque

n ⩾ 1

, on peut majorer:

\frac{1}{n ^{2}} ⩽ \frac{1}{n}

. Ainsi,

x^{' 2} ⩽ x^{2} + \frac{2 x}{n} + \frac{1}{n} = x^{2} + \frac{2 x + 1}{n} .

Puisqu’on veut

x^{'} \in A

, c’est-à-dire

x^{' 2} < 2

, imposons

x^{2} + \frac{2 x + 1}{n} < 2,

qui est équivalente à

n > \frac{2 x + 1}{2 - x ^{2}} .

Le membre de droite est bien défini et positif puisque

2 - x^{2} > 0

. Et un

n

satisfaisant à cette propriété existe toujours puisque, quelle que soit la valeur de

\frac{2 x + 1}{2 - x ^{2}}

, il existe toujours un

n

plus grand que ce nombre (ceci découle du fait que

N

n’est pas majoré). Si on prend un tel

n

, on a donc

x^{'} = x + \frac{1}{n} > x

, et

x^{' 2} = (x + \frac{1}{n})^{2} = x^{2} + \frac{2 x}{n} + \frac{1}{n ^{2}} < x^{2} + \frac{2 x}{n} + \frac{1}{n} = x^{2} + \frac{2 x + 1}{n} < x^{2} + \frac{2 x + 1}{\frac{2 x + 1}{2 - x ^{2}}} = 2 .

Ceci montre que

A

n’a pas d’élément maximal.

□

Ensuite, remarquons que

A

est majoré:

x ⩽ 3

pour tout

x \in A

. En effet, si

x > 3

, alors

x^{2} > 9 > 2

, et donc

x \neq \in A

.
On peut maintenant considérer le réel défini comme le supremum de

A

s := sup A .

Théorème 1.1.

Le nombre

s

défini ci-dessus satisfait

s^{2} = 2

Proof

Si on avait

s \in A

, cela impliquerait que

s

est un élément maximal pour

A

. Comme on vient de voir que

A

ne possède pas d’élément maximal, on en déduit que

s \neq \in A

, et donc que

s^{2} ⩾ 2 .

Nous allons maintenant montrer que

s^{2} ⩽ 2 .

Pour ce faire, commençons par définir le réel

M := \frac{2 + s ^{2}}{2 s}

et montrons que

M

majore

A

. En effet, observons que si

x > M

, alors

x^{2} = (s + (x - s))^{2} = s^{2} + 2 s (x - s) + ⩾ 0 (x - s)^{2} ⩾ s^{2} + 2 s (x - s) > s^{2} + 2 s (M - s) = s^{2} + 2 s (\frac{2 + s ^{2}}{2 s} - s) = 2,

et donc

x \neq \in A

. Ceci implique que si

x \in A

, alors

x ⩽ M

; donc

M

majore

A

. Mais, comme

s

est par définition le plus petit majorant de

A

, on a que

s ⩽ M

, c’est-à-dire

s ⩽ \frac{2 + s ^{2}}{2 s},

qui est équivalente à

s^{2} ⩽ 2

.
Comme

s^{2}

est à la fois

⩾ 2

⩽ 2

, ceci implique

s^{2} = 2

□

Le nombre

s

est appelé racine carrée de deux, et est noté

s = 2 .

Puisque

2 \in R

mais

2 \neq \in Q

comme on a vu,

2

est par définition irrationnel.

1.7.1 La fonction “racine”

On peut, en utilisant la même idée que celle présentée dans la preuve de la section précédente, montrer que pour tout

y \in R_{+}

, l’équation

x^{2} = y

possède une solution dans

R_{+}

Cette analyse montre que la fonction

f : R_{+} x \to R_{+} \mapsto x^{2}

et une surjection. On montre ici que c’est également une injection, et donc que cette fonction est une bijection.
Si

y ⩾ 0

, l’unique

x ⩾ 0

tel que

x^{2} = y

se note

x = y

, et se nomme racine carrée de $y$ . Toute la fonction réciproque s’appelle la fonction racine carrée:

f^{- 1} : R_{+} x \to R_{+} \mapsto x

Comme on sait, son graphe s’obtient en réfléchissant celui de

f (x) = x^{2}

à travers la diagonale du premier quadrant:

Remarque 1.4.

La méthode se généralise, et permet de montrer que pour tout

n \in N^{*}

, et pour tout

y \in R_{+}

, l’équation

x^{n} = y

possède une unique solution dans

R_{+}

. Celle-ci se note

n y

et se nomme racine $n$ -ème de $y$ .

L’utilisation de la notion de supremum/infimum, pour construire la racine carrée ci-dessus, n’est évidemment qu’un exemple de ce que l’on peut faire dans les réels. Comme on verra dans la suite, l’utilisation de ces notions sera utilisée constamment, et fournira un socle sur lequel toute l’analyse réelle pourra être construite.

Quiz 1.7.1.Pour montrer que dans

R_{+}

, l’équation “

x^{2} = 2

” possède une solution...

Quiz 1.7.2.Vrai ou faux?

Analyse I / GM

À propos des exercices et quiz

Sur les exercices

Sur les quiz

1.7 Solutions de $x^{2} = 2$

1.7.1 La fonction “racine”

À propos des exercices et quiz

Sur les exercices

Sur les quiz

1.7 Solutions de x2=2

1.7.1 La fonction “racine”

1.7 Solutions de $x^{2} = 2$