Analyse I / GM

EPFL Botafogo

À propos des exercices et quiz

“Practice, note innate talent, is what makes the difference in exceptional human achievment. ”
Malcolm Gladwell

Sur les exercices

Les exercices jouent un rôle central dans l’apprentissage d’une matière, puisqu’ils représentent le moment où on doit résoudre un problème à l’aide de ce qui a été étudié dans le cours.
Face à un nouvel exercice, la première chose à faire est de comprendre son énoncé. Donc il s’agira de lire l’énoncé, plusieurs fois si nécessaire, pour être sûr que vous comprenez tous les termes qu’il contient, et que vous voyiez ce qu’on vous demande. Si nécessaire, reprenez les définitions du cours.
Les exercices ne sont pas juste des “choses à calculer”: beaucoup sont théoriques et demandent de maîtriser les définitions et les résultats du cours. Donc il ne sert à rien de se lancer dans un calcul si on n’a pas compris la moitié des termes utilisés dans l’énoncé.
Vous avez plusieurs moyens d’avancer dans la résolution des problèmes. Il y a les assistant.es à la séance d’exercices bien sûr, il y a l’aide que vous trouvez en discutant avec vos collègues de travail, mais aussi d’autres outils en ligne, faits pour vous aider à avancer individuellement:
  • Certains exercices sont accompagnés d’indications (vous ne les voyez que si vous accédez aux exercices en ligne, ces indications ne sont pas sur le pdf), en accédant à l’onglet “Indications”; celles-ci fournissent des indices dont le but est d’arriver à faire un premier pas dans la résolution.
  • Vous avez la possibilité de poser des questions sur cet exercice, que ce soit avant, pendant, ou après la séance d’exercices, en ouvrant l’onglet “Forum”. Avant de poser une question, vérifiez si elle n’a pas déjà été posée par quelqu’un d’autre! Un autre étudiant, un assistant ou moi-même y aura probablement déjà répondu. Vous pouvez aussi commenter ou “liker” les questions/réponses des autres.
    Faites bon usage du forum associé à un exercice: s’y rendre trop tôt pour chercher de l’aide risque de vous faire obtenir des informations que vous auriez peut-être obtenu tout-e seul-e en réfléchissant un peu. Un peu comme aller regarder la solution d’un exercice avant d’avoir essayé tout-e seul-e...
“A good course is a course with many stupid questions. ”
Wendelin Werner,Rio de Janeiro, 2008
Ne pensez pas que vous êtes sensés arriver à faire tous les exercices facilement, en compilant directement ce qui a été dans le cours. Il est normal de ne pas arriver à faire un exercice tout de suite sans fautes: ça fait partie intégrante de l’apprentissage!
Les solutions seront disponibles peu après la séance d’exercices. Alors soyons clairs: lire la solution d’un problème sans avoir essayé de le faire avant, c’est comme si on n’avait RIEN fait. Vous pouvez lire et relire la solution d’un exercice, vous dire que vous l’avez “comprise”, peut-être même la reproduire sans faute; ça ne veut pas du tout dire que vous serez capable de résoudre un autre exercice du même genre.
Il faut savoir que le processus d’apprentissage par lequel on passe, lorsqu’on sèche sur un problème, est utile pour une multitude d’autres choses, en plus de l’exercice lui-même...

Sur les quiz

Des quiz apparaissent à la fin de pratiquement toutes les sections du polycopié.
Le but d’un quiz est de vous permettre de voir si vous avez compris la matière qui vient de vous être présentée, en vous posant simplement une suite de questions du type “Vrai ou Faux”? En général, on peut y répondre sans faire aucun calcul.
Il est essentiel de tous les faire. Relisez le cours, lisez les questions qu’on vous pose, réfléchissez, choisissez vos réponses, puis checkez en appuyant sur “Réponses”. Les quiz vous fournissent un moyen de vous auto-évaluer, ne manquez pas cette occasion!
Dans un quiz, répondre “Vrai” signifie que l’on doit pouvoir donner une petite justification à l’aide de ce qui a été présenté dans le cours. Répondre “Faux” doit pouvoir s’accompagner d’un contre-exemple. Par exemple, pour démontrer que l’affirmation “toute fonction continue est dérivable” est fausse, on peut donner le contre-exemple de la fonction , qui est continue partout mais pas dérivable en .
Parfois, trouver un contre-exemple peut être plus difficile. L’affirmation “Toute fonction continue est dérivable en au moins un point” est aussi fausse, mais exhiber un contre-exemple requiert un certain travail...
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1.6 Supremum et infimum

Ici, nous introduirons la propriété cruciale qui différencie les réels des rationnels. En particulier, nous verrons comment cette propriété permet de garantir que dans , l’équation possède bel et bien une solution.
Avant de commencer, il nous faut introduire un peu de terminologie.

1.6.1 Minimum, maximum

L’ordre introduit plus haut sur permet de distinguer certains éléments d’un sous-ensemble de .
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Définition 1.2.
Soit un sous-ensemble non-vide de .
  • Un élément est dit maximal si . On dit aussi que est le maximum de , et on note: .
  • Un élément est dit minimal si . On dit aussi que est le minimum de , et on note: .
Exemple 1.4.
On réalise que quand un ensemble contient un nombre fini d’éléments, alors il possède toujours un minimum et un maximum. En d’autres termes, une liste finie de nombres contient toujours un plus grand et un plus petit élément. Par contre, lorsque l’ensemble possède un nombre infini d’éléments, l’existence d’un minimum ou maximum n’est plus garantie.
Exemple 1.5.
Vu comme sous-ensemble des réels, l’ensemble des entiers possède un élément minimal, , mais il ne possède pas d’élément maximal.
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Exemple 1.6.
Considérons l’ensemble (la couleur, c’est juste pour voir l’ensemble sur le dessin du dessous) de tous les nombres de la forme , où est un entier: Clairement, possède un élément maximal: . En effet, pour tout , et de plus :
Par contre, ne possède pas de minimum. En effet, aucun élément de n’est plus petit que les autres.
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Exemple 1.7.
Soit . D’abord, possède un minimum, donné par . (En effet, pour tout , et .) Par contre, n’a pas de maximum. En effet, pour tout , il existe toujours un autre élément tel que . On peut par exemple prendre , qui est le point milieu entre et :
Donc aucun élément de n’est maximal.
Exemple 1.8.
Considérons le sous-ensemble de : Par définition, est composé de tous les rationnels , tels que . On a donc, par exemple, , , , etc.
n’a pas de minimum puisque pour tout entier , et n’a pas de maximum non plus puisque pour tout , on a aussi

1.6.2 Majorants, minorants

Définition 1.3.
Soit .
  1. est majoré si il existe tel que pour tout ; on dit qu’un tel majore , ou que c’est un majorant pour .
  2. est minoré si il existe tel que pour tout ; on dit qu’un tel minore , ou que c’est un minorant pour .
  3. Si est à la fois majoré et minoré, il est borné.
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Exemple 1.9.
est majoré; , sont des majorants. En fait, n’importe quel majore .
Par contre, n’est pas un majorant; en effet, si on prend par exemple le point , alors , et . est aussi minoré: n’importe quel réel minore .
Informel 1.2.Un ensemble est borné si et seulement si il peut être “rangé dans une boîte”, c’est-à-dire placé à l’intérieur d’un intervalle , où et sont des nombres finis.
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Exemple 1.10.
Vus comme sous-ensembles de ,
  • est minoré puisque pour tout . Par contre n’est pas majoré. En effet, pour tout , il existe un tel que . Nous utiliserons ceci constamment par la suite.
  • n’est ni minoré, ni majoré.

1.6.3 Supremum, infimum

Passons maintenant à la notion essentielle de ce chapitre sur les réels:
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Définition 1.4.
Soit un ensemble non-vide.
Un réel est appelé borne supérieure (ou supremum) de si
  1. majore (c.-à-d. que pour tout ),
  2. est le plus petit majorant de (c.-à-d. que pour tout , il existe tel que ).
Si est supremum de , on le note .
Un réel est appelé borne inférieure (ou infimum) de si
  1. minore (c.-à-d. que pour tout ),
  2. est le plus grand minorant de (c.-à-d. que pour tout , il existe tel que ).
Si est l’infimum de , on le note .
Remarque 1.3.
Il est clair que
  • Si possède un élément maximal, alors .
  • Si possède un élément minimal, alors .
Mais en général, le maximum et le minimum peuvent ne pas exister, alors que le supremum et l’infimum comme on verra, existent toujours dans les réels.
On reformulera souvent la deuxième condition, dans le supremum par exemple, en disant que pour tout il existe un tel que
Informel 1.3.(Interprétation “physique” de l’infimum et du supremum pour un ensemble borné.) On a dit qu’un ensemble borné peut toujours être “rangé dans une boîte” . Et bien parmi toutes les boîtes qui contienne , la plus petite est celle pour laquelle et .
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Exemple 1.11.
Reprenons l’ensemble de tout à l’heure: Puisque et que tout est plus petit ou égal à , est l’élément maximal de , et .
Vérifions maintenant que . D’abord, minore puisque tout nombre de la forme est plus grand ou égal à . Pour montrer que est le plus grand minorant, considérons un nombre quelconque , et montrons que n’est pas un minorant pour . En effet, si , alors il existe un entier tel que , ce qui est équivalent à . Or comme , ceci montre que minore pas .
On a donc bien montré que est le plus grand minorant: .
Exemple 1.12.
Soit encore . On a vu que n’a pas de maximum; montrons maintenant que .
  1. Premièrement, on a pour tout , donc est majoré par .
  2. Deuxièmement, si , alors il existe tel que . En effet, si , n’importe quel suffit. Sinon, si , on peut par exemple prendre .
Ensuite, on a . En effet, est le plus grand minorant:
  1. pour tout , et
  2. pour tout , il existe un tel que

1.6.4 La différence entre et

Passons à l’axiome qui confère à une propriété qui permet de l’utiliser pour faire de l’analyse: Dans ,
  • tout ensemble non-vide majoré possède un supremum,
  • tout ensemble non-vide minoré possède un infimum.
Pour des ensembles qui ne sont pas bornés, la convention suivante est parfois adoptée (ce n’est qu’une notation):
  • Si n’est pas majoré, .
  • Si n’est pas minoré, .
Exemple 1.13.
Calculons l’infimum/supremum de l’ensemble Remarquons pour commencer que Comme on veut , on doit se restreindre à , ce qui donne On a donc , et comme cet ensemble n’est pas majoré, .
Quiz 1.6.1.Soit un ensemble non vide. Si ne majore pas , cela signifie
Quiz 1.6.2.Soit un ensemble non-vide majoré. Si , cela signifie que
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