Analyse I / GM

EPFL Botafogo

À propos des exercices et quiz

“Practice, note innate talent, is what makes the difference in exceptional human achievment. ”
Malcolm Gladwell

Sur les exercices

Les exercices jouent un rôle central dans l’apprentissage d’une matière, puisqu’ils représentent le moment où on doit résoudre un problème à l’aide de ce qui a été étudié dans le cours.
Face à un nouvel exercice, la première chose à faire est de comprendre son énoncé. Donc il s’agira de lire l’énoncé, plusieurs fois si nécessaire, pour être sûr que vous comprenez tous les termes qu’il contient, et que vous voyiez ce qu’on vous demande. Si nécessaire, reprenez les définitions du cours.
Les exercices ne sont pas juste des “choses à calculer”: beaucoup sont théoriques et demandent de maîtriser les définitions et les résultats du cours. Donc il ne sert à rien de se lancer dans un calcul si on n’a pas compris la moitié des termes utilisés dans l’énoncé.
Vous avez plusieurs moyens d’avancer dans la résolution des problèmes. Il y a les assistant.es à la séance d’exercices bien sûr, il y a l’aide que vous trouvez en discutant avec vos collègues de travail, mais aussi d’autres outils en ligne, faits pour vous aider à avancer individuellement:
  • Certains exercices sont accompagnés d’indications (vous ne les voyez que si vous accédez aux exercices en ligne, ces indications ne sont pas sur le pdf), en accédant à l’onglet “Indications”; celles-ci fournissent des indices dont le but est d’arriver à faire un premier pas dans la résolution.
  • Vous avez la possibilité de poser des questions sur cet exercice, que ce soit avant, pendant, ou après la séance d’exercices, en ouvrant l’onglet “Forum”. Avant de poser une question, vérifiez si elle n’a pas déjà été posée par quelqu’un d’autre! Un autre étudiant, un assistant ou moi-même y aura probablement déjà répondu. Vous pouvez aussi commenter ou “liker” les questions/réponses des autres.
    Faites bon usage du forum associé à un exercice: s’y rendre trop tôt pour chercher de l’aide risque de vous faire obtenir des informations que vous auriez peut-être obtenu tout-e seul-e en réfléchissant un peu. Un peu comme aller regarder la solution d’un exercice avant d’avoir essayé tout-e seul-e...
“A good course is a course with many stupid questions. ”
Wendelin Werner,Rio de Janeiro, 2008
Ne pensez pas que vous êtes sensés arriver à faire tous les exercices facilement, en compilant directement ce qui a été dans le cours. Il est normal de ne pas arriver à faire un exercice tout de suite sans fautes: ça fait partie intégrante de l’apprentissage!
Les solutions seront disponibles peu après la séance d’exercices. Alors soyons clairs: lire la solution d’un problème sans avoir essayé de le faire avant, c’est comme si on n’avait RIEN fait. Vous pouvez lire et relire la solution d’un exercice, vous dire que vous l’avez “comprise”, peut-être même la reproduire sans faute; ça ne veut pas du tout dire que vous serez capable de résoudre un autre exercice du même genre.
Il faut savoir que le processus d’apprentissage par lequel on passe, lorsqu’on sèche sur un problème, est utile pour une multitude d’autres choses, en plus de l’exercice lui-même...

Sur les quiz

Des quiz apparaissent à la fin de pratiquement toutes les sections du polycopié.
Le but d’un quiz est de vous permettre de voir si vous avez compris la matière qui vient de vous être présentée, en vous posant simplement une suite de questions du type “Vrai ou Faux”? En général, on peut y répondre sans faire aucun calcul.
Il est essentiel de tous les faire. Relisez le cours, lisez les questions qu’on vous pose, réfléchissez, choisissez vos réponses, puis checkez en appuyant sur “Réponses”. Les quiz vous fournissent un moyen de vous auto-évaluer, ne manquez pas cette occasion!
Dans un quiz, répondre “Vrai” signifie que l’on doit pouvoir donner une petite justification à l’aide de ce qui a été présenté dans le cours. Répondre “Faux” doit pouvoir s’accompagner d’un contre-exemple. Par exemple, pour démontrer que l’affirmation “toute fonction continue est dérivable” est fausse, on peut donner le contre-exemple de la fonction , qui est continue partout mais pas dérivable en .
Parfois, trouver un contre-exemple peut être plus difficile. L’affirmation “Toute fonction continue est dérivable en au moins un point” est aussi fausse, mais exhiber un contre-exemple requiert un certain travail...
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II.2 Fonctions

II.2.1 Notion de fonction

Dans cette section, on rappelle quelques définitions élémentaires relatives à la notion de fonction. Même si dans ce cours on s’intéressera surtout à des fonctions réelles d’une variable réelle, ce que l’on présente ici est très général et s’applique à des situations très diverses, comme par exemple l’étude des applications linéaires en algèbre linéaire.
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Définition II.1.
Soient deux ensembles quelconques non-vides. Une fonction de dans , est une règle qui associe à chaque élément un (et un seul) élément , appelé l’image de (par ), et on écrit On dit alors que est une préimage (ou un antécédent) de .
Lorsque est associé à , on pourra penser à cette association comme à une “flèche de vers ”. En termes de flèches, une fonction de dans est donc bien définie une fois que l’on a, pour chaque , exactement une flèche reliant ce à un (et un seul) . En particulier, il ne peut pas y avoir deux flèches sortant d’un .
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Pour des raisons évidentes, est parfois appelé l’ensemble de départ, et l’ensemble d’arrivée.
Pour bien indiquer l’ensemble de départ et d’arrivée d’une fonction, on écrit
Exemple II.5.
Considérons , , et définissons la fonction comme suit: pour , Ici, et possèdent chacun une infinité de préimages, possède préimages, et ne possède aucune préimage.

II.2.2 Ensemble image

Il est naturel de considérer, pour commencer l’étude d’une fonction, de déterminer quels sont les éléments de l’ensemble d’arrivée qui possèdent au moins une préimage:
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Définition II.2.
L’ensemble image de est défini par
Par la définition de fonction, une flèche sort de chaque ; mais tous les ne sont pas forcément atteints par une flèche. L’ensemble image est donc constitué des éléments de l’ensemble d’arrivée qui sont atteints par au moins une flèche. On peut imaginer obtenu en “balayant” tout avec la variable , et en observant tous les obtenus.
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Exemple II.6.
Soit , , et la fonction définie par: Alors (puisque n’a pas de préimage).

II.2.3 Surjection

Par définition, l’ensemble image d’une fonction est un sous-ensemble de , , et il est naturel de considérer les fonctions pour lesquelles il coïncide exactement avec :
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Définition II.3.
est surjective si , c’est-à-dire si chaque élément de l’ensemble d’arrivée possède au moins une préimage.
Informel II.1.Une fonction est surjective si chaque élément de l’ensemble d’arrivée est atteint par au moins une flèche; en d’autres termes, si les flèches qui partent de “remplissent bien” tout l’ensemble d’arrivée.
Exemple II.7.
La fonction est surjective. En effet, prenons un quelconque. Si on considère , alors donc est antécédent de , et donc .
Exemple II.8.
Soit l’ensemble des étudiant.e.s dans l’auditoire, et soit . Considérons où est le nombre de frères et soeurs de . Pour trouver , on peut procéder comme suit: pour tout , on pose la question: “Qui possède exactement frères et soeurs?” Si au moins une main se lève, c’est que . Dès qu’on a un pour lequel aucune main se lève, c’est que n’est pas surjective. Pour s’assurer facilement que n’est effectivement pas surjective, on peut simplement poser la question: “Est-ce que quelqu’un a plus de frères et soeurs?” Si personne ne lève la main, c’est que . (Si on sonde l’auditoire, on observe probablement quelque chose comme .)
Toute fonction peut être transformée en une fonction surjective, en modifiant simplement son ensemble d’arrivée. En effet, si n’est pas surjective, c’est que son ensemble d’arrivée est “trop grand”: est un sous-ensemble stricte de . On peut alors retirer les éléments de qui ne sont pas dans l’image, et obtenir une fonction surjective. Plus précisément, est surjective.
Exemple II.9.
La fonction n’est pas surjective, puisque si est impair, il ne possède pas de préimage. Ici, , l’ensemble de tous les entiers positifs pairs. En restreignant son ensemble d’arrivée à , on obtient qui est surjective.

II.2.4 Injection

Une deuxième chose naturelle à considérer, pour une fonction donnée, est de savoir si celle-ci sépare les points, c’est-à-dire si des points différents, dans l’ensemble de départ, ont des images différentes:
Définition II.4.
est injective si implique .
Informel II.2.Si la fonction est injective, des flèches qui partent de points différents doivent arriver en des points différents!
Exemple II.10.
Considérons Puisque et , n’est pas injective.
Une caractérisation équivalente de l’injectivité, plus commode à manipuler dans la pratique, est la suivante: est injective si implique .
Exemple II.11.
Montrons que est injective. Pour ce faire, prenons deux éléments , et supposons que , c’est-à-dire Quelques manipulations montrent que cette dernière identité est équivalente à qui n’est vérifiée que si au moins une des parenthèses est nulle. Or la première est nulle si , et puisque , la deuxième ne peut s’annuler que si . Dans tous les cas, on a bien montré que implique , donc est injective.

II.2.5 Bijection

Voyons ce qui se passe lorsqu’une fonction possède en même temps les deux propriétés introduites dans les sections précédentes.
Définition II.5.
Une fonction est bijective si elle est à la fois injective et surjective.
L’intérêt d’une fonction bijective est qu’on peut l’inverser, ce qui signifie revenir de l’ensemble image à l’ensemble de départ, sans ambiguïté.
En effet, supposons que est bijective, et fixons un élément quelconque de l’ensemble d’arrivée, .
  1. Comme est surjective, possède au moins une préimage.
  2. Comme est injective, possède au plus une préimage.
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On en déduit que possède exactement une préimage dans l’ensemble de départ: on la note . Avoir associé à tout un unique élément signifie que nous avons défini une fonction de dans . Puisque cette fonction permet d’obtenir l’unique préimage de chaque élément de , on l’appelle la réciproque de : Par définition, la réciproque permet de récupérer la préimage: Mais aussi,
Remarque II.1.
L’utilisation du symbole “”, pour la réciproque, est largement répandue, et nous l’utiliserons, mais elle peut prêter à confusion. En effet, pour des fonctions numériques, ne doit en aucun cas être confondu avec , qui signifie !
Exemple II.12.
Montrons que la fonction est bijective. (On utilise des couleurs uniquement pour distinguer les ensembles de départ et d’arrivée.)
  • Soient . On a
    donc est injective.
  • Soit . Montrons que possède une préimage, à savoir un tel que . En effet, on peut simplement isoler dans “” et trouver . Comme , on a bien trouvé une préimage pour . Donc est surjective.
Maintenant que est bijective, donnons sa réciproque explicitement: L’expression de a en fait été trouvée plus haut: il s’agit d’isoler dans , ce qui donne .
Quiz II.2.1.On considère les ensembles , Quelles règles ci-dessous définissent une fonction ?
Quiz II.2.2.Vrai ou faux? L’ensemble image d’une fonction , c’est
Quiz II.2.3.Vrai ou faux? Si est injective, alors
Quiz II.2.4.Si n’est pas injective, alors
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