Analyse I / GM

EPFL Botafogo

Cours 01 (Mercredi 9 sept.)

Remarque 12.
Les vidéos contiennent deux flux (celui du beamer et celui de la caméra), et vous pouvez choisir celui qui est au fond (utilisez en particulier le bouton qui ressemble à “”.

Communications

  • Vendredi: CO 1!
  • Liens pour streaming: ici. (L’enregistrement du cours du jour sera sur cette même page, tout en bas.)
  • Répartition dans les salles d’exercices (à respecter!): ici.
  • Parallélisme entre MATH-101(c) et MATH-101(pi)
  • Aujourd’hui à la séance d’exercices: Série 01 (la Série 00: à vous de jeter un oeil)
Ce qu’on trouve sur cette plateforme:
  • polycopié (texte, vidéos, animations, graphes interactifs)
  • QUIZ
  • exercices (indications, solutions)
On a partout la possibilité de poser des questions...
  • Sur un paragraphe du polycopié.
  • Sur un exercice (avant, pendant, après la séance).
  • Posez aussi des questions pendant les séances d’exercices!
Avant de poser une question sur un exercice:
  • s’assurer qu’on a compris l’énoncé (donc relu les définitions)
  • lire les indications
  • lire les questions déjà posées, et là: 1) attention aux spoilers! 2) LIKER les réponses utiles
Si on pose une question sur le forum:
  • dire clairement quel type d’aide on demande (juste un petit coup de main? une question liée au cours? etc.)
  • utiliser
  • éviter les captures d’écran
  • penser aux autres/futurs utilisateurs/trices
ATTENTION: A propos du (trop) grand nombre de ressources) et de vos notes de cours.

Matière

Notions élémentaires

(9 septembre 2026, SG1)
Projet Botafogo © 2026. En savoir plus. Contenu sous licence CC BY-NC-SA 4.0

1.5 Valeur absolue et distance

Animation explicative
Définition 1.1.
La valeur absolue de est définie par
Exemple 1.3.
  • Puisque , on a .
  • Puisque , on a .
Les propriétés suivantes suivent de la définition: pour tous ,
  3. si et seulement si
  5. Si , alors si et seulement si .
  7. Si , .
  8. Si on divise un réel non-nul par sa valeur absolue, on obtient son signe:
Proposition 1.1.
(Inégalité triangulaire) Pour tous ,
Proof
Si , alors Si , alors

L’inégalité triangulaire sera utilisée très souvent lorsqu’on aura besoin d’estimer des sommes de réels. Plus précisément, considérons la somme de deux nombres et , que l’on sait être “petits” dans le sens où on a trouvé un tel que et . (Remarquons que ceci n’implique rien sur les signes des nombres et .) Alors, l’inégalité triangulaire permet de garantir que et donc
Animation explicative
Remarque 1.2.
On peut utiliser la valeur absolue pour caractériser le nombre “zéro”: c’est l’unique nombre dont la valeur absolue est plus petite que tout nombre positif:

1.5.1 Distance

La valeur absolue permet de mesurer la proximité de deux réels , en définissant leur distance:
Lemme 1.2.
(Propriétés de la distance)
  1. pour tous . De plus, si et seulement si .
  2. pour tous
  3. Pour tous ,
Proof
Les deux premières affirmations suivent directement des propriétés de la valeur absolue. Pour la troisième, on insère , et on utilise l’inégalité triangulaire: Remarque: En géométrie Euclidienne, l’inégalité triangulaire dit que le chemin direct allant d’un point à un point est plus court que tout autre chemin (rectiligne) passant par un point intermédiaire :

On utilisera souvent les équivalences suivantes:
Quiz 1.5.1.Soit .
Quiz 1.5.2.Vrai ou faux?
Quiz 1.5.3.Vrai ou faux?
Projet Botafogo © 2026. En savoir plus. Contenu sous licence CC BY-NC-SA 4.0