Cours 01 (Mercredi 9 sept.)

Remarque 12.

Les vidéos contiennent deux flux (celui du beamer et celui de la caméra), et vous pouvez choisir celui qui est au fond (utilisez en particulier le bouton qui ressemble à “

⇆

”.

Communications

Vendredi: CO 1!
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Répartition dans les salles d’exercices (à respecter!): ici.
Parallélisme entre MATH-101(c) et MATH-101(pi)
Aujourd’hui à la séance d’exercices: Série 01 (la Série 00: à vous de jeter un oeil)

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Sur un exercice (avant, pendant, après la séance).
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Avant de poser une question sur un exercice:

s’assurer qu’on a compris l’énoncé (donc relu les définitions)
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lire les questions déjà posées, et là: 1) attention aux spoilers! 2) LIKER les réponses utiles

Si on pose une question sur le forum:

dire clairement quel type d’aide on demande (juste un petit coup de main? une question liée au cours? etc.)
utiliser $L A T E X$
éviter les captures d’écran
penser aux autres/futurs utilisateurs/trices

ATTENTION: A propos du (trop) grand nombre de ressources) et de vos notes de cours.

Matière

Notions élémentaires

(9 septembre 2026, SG1)

La deuxième caractéristique de l’ensemble des nombres réels est que deux réels

x, y

peuvent toujours être comparés. Si ils sont égaux,

x = y

, il n’y a pas lieu de les comparer, mais si ils sont distincts,

x \neq = y

, alors il y en a nécessairement un qui est plus petit que l’autre:

Si $x$ est plus petit que $y$ , on note $x < y$ .
Si $x$ est plus grand que $y$ , on note $x > y$ .

Le fait que l’on puisse ainsi comparer n’importe quelle paire de réels distincts représente ce qu’on appelle un ordre total.
L’ordre total représente l’intuition que nous avons pour la position relative de deux points sur une droite.

x < y

: “

x

est à gauche de

y

”,

x > y

: “

x

est à droite de

y

”,

Lorsqu’on veut comparer deux réels sans forcément se préoccuper de savoir s’ils sont distincts:

Si $x$ est plus petit ou égal à $y$ , on note $x ⩽ y$ .
Si $x$ est plus grand ou égal à $y$ , on note $x ⩾ y$ .

Exemple 1.1.

Toutes les inégalités ci-dessous sont vraies:

0 < \frac{1}{2} ⩽ 1, 1 ⩾ 1, 3 < π < 4 ⩽ 4.1 .

Par contre, les suivantes sont fausses:

0 > 0, - 1 < - 2, 0.99999 \dots < 1 .

Énonçons les propriétés des relations “

⩽, ⩾, <, >

”:

Pour toute paire $x, y \in R$ , on a soit $x ⩽ y$ , soit $y ⩽ x$ . Si on a à la fois $x ⩽ y$ et $y ⩽ x$ , alors $x = y$ .
$x ⩽ x$ pour tout $x \in R$ .
Si $x ⩽ y$ et $y ⩽ z$ , alors $x ⩽ z$ .
Si $x ⩽ y$ , alors $x + z ⩽ y + z$ pour tout $z \in R$ .
Si $0 ⩽ x$ et $0 ⩽ y$ , alors $0 ⩽ x \cdot y$

Informel 1.1.La troisième propriété est constamment utilisées en analyse. En effet, pour montrer qu’un nombre

x

est plus petit ou égal à un nombre

z

, on passera souvent par l’utilisation d’un réel intermédiaire

y

, et on vérifiera les deux relations “

x ⩽ y

”, “

y ⩽ z

”, qui ensemble garantissent que

x ⩽ z

D’autres propriétés peuvent être obtenues à partir des propriétés de base.

Exemple 1.2.

Montrons que si

x ⩽ y

s ⩽ t

, alors

x + s ⩽ y + t

. En effet, par la propriété 4.,

x ⩽ y

implique

x + s ⩽ y + s

. Mais, encore une fois par la propriété 4.,

s ⩽ t

implique

y + s = s + y ⩽ t + y = y + t

. On a donc

x + s ⩽ y + s et y + s ⩽ y + t,

ce qui donne, par la propriété 3.:

x + s ⩽ y + t

1.3.1 Signe

Un réel

x \in R

est dit

positif (resp. strictement positif) si $x ⩾ 0$ (resp. $x > 0$ ),
négatif (resp. strictement négatif) si $x ⩽ 0$ (resp. $x < 0$ ).

Quiz 1.3.1.(Ordre total sur

R

.) Vrai ou faux?

Quiz 1.3.2.Vrai ou faux?

Analyse I / GM

Cours 01 (Mercredi 9 sept.)

Communications

Matière

Notions élémentaires

1.3 Ordre: $⩽, ⩾, <, >$

1.3.1 Signe

Cours 01 (Mercredi 9 sept.)

Communications

Matière

Notions élémentaires

1.3 Ordre: ⩽,⩾,<,>

1.3.1 Signe

1.3 Ordre: $⩽, ⩾, <, >$